Обчислення об’єму тіла

Знайдемо об’єм тіла в припущенні, що відомі площі перерізів цього тіла площинами, перпендикулярними до деякої осі, наприклад . Тоді , (див. рис. 12), де - неперервна на відрізку функція. Перетнемо тіло двома площинами, які проходять через точки та , перпендикулярно до осі . Частина об’єму тіла, що міститься між цими площинами, з точністю до нескінченно малих вищого порядку дорівнює об’єму циліндра з площею основи і висотою , тому диференціал об’єму дорівнює і при зміні від до об’єм тіла дорівнює

.

Це є формула об’єму тіла за площами паралельних перерізів.

Рис. 13

Приклад. Знайти об’єм тіла, одержаного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями , , (об’єм параболоїда обертання з радіусом основи і висотою ). Отримуємо .

Рис. 14