Обчислення довжини дуги

1) Обчислення довжини дуги графіка функції в декартових координатах

Рис. 10

Знайдемо похідну . Надамо змінній приріст , функція отримає приріст , а відповідний приріст функції - довжина малої дуги , де , а . За означенням довжиною дуги називається границя, до якої прямує довжина ламаної, вписаної в дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а найбільша з довжин ланок ламаної прямує до нуля. Звідси випливає, що нескінченно мала дуга і хорда, що її стягує, - еквівалентні нескінченно малі, тобто

.

Таким чином

Отже , і шукана довжина дуги дорівнює

.

Приклад. Обчислити довжину дуги кривої на відрізку . Знаходимо похідну: .

Тоді

2)Обчислення довжини дуги лінії, заданої параметричними рівняннями.

Потрібно обчислити довжину дуги лінії

яка відповідає зміні параметра від до . Функції і вважаємо неперервно диференційовними, при чому при .

У формулі для довжини дуги виконаємо заміну змінної:

Отже

Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди

Знаходимо похідні , .

Тоді

3) Обчислення довжини дуги лінії, заданої рівнянням у полярній системі координат.

Нехай дуга задана рівнянням на відрізку . Запровадимо декартову систему координат з початком у полюсі і додатною піввіссю вздовж полярної осі. У цій системі координат рівняння заданої лінії запишеться у вигляді (див. рис. 11):

Це – параметричні рівняння, в яких параметром є полярний кут , отже для обчислення довжини заданої дуги можна застосувати формулу Знаходимо

Рис. 11

Таким чином довжина заданої дуги

Приклад. Обчислити довжину дуги кардіоїди при . Знаходимо ,