Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Обчислення довжини дуги

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 24Следующая ⇒

1) Обчислення довжини дуги графіка функції в декартових координатах

Рис. 10
Нехай лінію задано рівнянням , де функція і її похідна неперервні на відрізку і потрібно обчислити довжину дуги цієї лінії від точки до точки . Оберемо довільно точку і розглянемо частину дуги, яка відповідає зміні аргументу в межах від до (тобто дугу , де , ). Довжина дуги є очевидно функцією від , визначеною на . Позначимо її . Оскільки , а - де - довжина всієї дуги , то .

Знайдемо похідну . Надамо змінній приріст , функція отримає приріст , а відповідний приріст функції - довжина малої дуги , де , а . За означенням довжиною дуги називається границя, до якої прямує довжина ламаної, вписаної в дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а найбільша з довжин ланок ламаної прямує до нуля. Звідси випливає, що нескінченно мала дуга і хорда, що її стягує, - еквівалентні нескінченно малі, тобто

.

Таким чином

Отже , і шукана довжина дуги дорівнює

.

Приклад. Обчислити довжину дуги кривої на відрізку . Знаходимо похідну: .

Тоді

 

2)Обчислення довжини дуги лінії, заданої параметричними рівняннями.

Потрібно обчислити довжину дуги лінії

яка відповідає зміні параметра від до . Функції і вважаємо неперервно диференційовними, при чому при .

У формулі для довжини дуги виконаємо заміну змінної:

Отже

Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди

Знаходимо похідні , .

Тоді

3) Обчислення довжини дуги лінії, заданої рівнянням у полярній системі координат.

Нехай дуга задана рівнянням на відрізку . Запровадимо декартову систему координат з початком у полюсі і додатною піввіссю вздовж полярної осі. У цій системі координат рівняння заданої лінії запишеться у вигляді (див. рис. 11):

Це – параметричні рівняння, в яких параметром є полярний кут , отже для обчислення довжини заданої дуги можна застосувати формулу Знаходимо

Рис. 11

Таким чином довжина заданої дуги

Приклад. Обчислити довжину дуги кардіоїди при . Знаходимо ,

 

 


⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒





Date: 2015-09-02; view: 726; Нарушение авторских прав


mydocx.ru - 2015-2025 year. (0.212 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию