Метод заміни змінної у визначеному інтегралі

Теорема. Нехай

1) функція неперервна на відрізку ;

2) функція має неперервну похідну на відрізку ;

3) , і для будь-якого значення

Тоді .

Оскільки неперервна на , то вона має первісну, позначимо її . Тоді функція буде первісною для функції на відрізку (справді, , бо .

За формулою Ньютона-Лейбніца

і .

Отже , що й треба було довести.

Зауваження. При заміні змінної у невизначеному інтегралі необхідно було після інтегрування повертатися до попередньої змінної , але у визначеному інтегралі цього робити не потрібно, натомість необхідно встановити належним чином межі інтегрування. Нові межі інтегрування і відшукуються як розв’язки рівнянь і відносно і .

Приклад. Обчислити .

Розглянемо підстановку . Функція неперервна на , функція має неперервну похідну на відрізку і при зміні від до функція змінюється від до . Отже всі умови теореми про заміну змінної додержані.