Загальна схема застосування визначеного інтеграла

В багатьох задачах геометричного і фізичного змісту шукана величина може бути подана як приріст деякої функції на заданому відрізку , тобто як . Згідно з формулою Ньютона-Лейбніца

Отже для обчислення величини такого типу необхідно знайти вираз диференціала відповідної функції і проінтегрувати його на відрізку . Диференціал з точністью до нескінченно малих вищого порядку дорівнює приросту на малому («елементарному») відрізку , тобто малій частинці («елементу») шуканої величини. Тому такий підхід до застосування інтеграла в практичних задачах називають іноді методом «вилучення елемента». В подальшому ми розглянемо використання цього методу на прикладах ряду конкретних задач.

Існує і інший підхід до розв’язання аналогічних задач. Він полягає в тому, що шукану величину наближено виражають у вигляді інтегральної суми для деякої функції і деякого розбиття відрізка . В міру подрібнення розбиття точність цього виразу зростає, і в границі він прямує до точного значення шуканої величини, тобто до інтеграла . Це так званий «метод інтегральних сум».

Прикладом його застосування може служити задача про площу криволінійної трапеції, розглянута раніше як одна з задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

Надалі при розгляді прикладів застосування інтеграла ми користуватимемося методом вилучення елемента.