Інтеграл як функція верхньої межі. Формула Ньютона-Лейбніца

Нехай функція неперервна на відрізку .

Тоді, як було вказано вище, вона інтегровна на відрізку , а значить і на відрізку при будь-якому . Розглянемо інтеграл

, .

Тут змінна інтегрування позначена , щоб не сплутати її з верхнью межею . Кожному відповідає певне значення інтеграла , отже є функція від , задана на відрізку . Знайдемо похідну цієї функції.

Надамо аргументу приріст , тоді відповідний приріст буде

(тут ми скористалися з властивості адитивності визначеного інтеграла).

Далі застосуємо теорему про середнє значення

,

де точка розташована поміж і .

Згідно з означенням похідної

, тому що при точка , а функція неперервна.

Таким чином встановлено дуже важливий факт: похідна визначеного інтеграла по його верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції в точці, яка дорівнює верхній межі, тобто .

Це означає, що будь-яка функція , неперервна на відрізку , має на цьому відрізку первісну, при чому інтеграл із змінною верхньою межею є первісною для . Цим встановлюється глибокий зв'язок поміж невизначеним і визначеним інтегралам, а саме

- де С - довільна стала.

Нехай тепер - яка-небудь первісна для функції на відрізку . Дві первісні для однієї й тієї ж функції відрізняються, як відомо, лише сталим доданком. Тому

, де С – деяка стала.

Покладемо тут . Тоді

, звідки , так що для будь-якого .

Покладаючи тепер , отримуємо основну формулу інтегрального числення

,

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Отже, визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює приросту будь-якої її первісної на всьому проміжку інтегрування. Зазвичай користуються умовним позначенням: (« з подвійною підстановкою від до »), і тоді формула Ньютона-Лейбніца записується у вигляді

.

Ця формула відкриває великі можливості для обчислення визначених інтегралів, вона зводить задачу обчислення визначеного інтеграла до достатньо вивченої задачі відшукання невизначеного інтеграла.

Зазначимо, що при додержанні певних умов формула Ньютона-Лейбніца має місце і для розривних функцій.