Поняття про інтеграли, що не виражаються через елементарні функції

В аналізі доводиться, що будь-яка неперервна функція має первісну. Але якщо при диференціюванні елементарної функції одержуємо завжди знову елементарну функцію, то первісна від елементарної функції може і не бути елементарною, отже не може бути записана через скінченне число символів відомих нам основних елементарних функцій (степеневої, показникової, логарифмічної, тригонометричних і обернених тригонометричних).

Наприклад, не є елементарними первісні таких функцій, як , , , , а тим часом ці первісні зустрічаються в багатьох задачах математики, техніки і природознавства. Виникає необхідність розширення «запасу» функцій, необхідність розглядати і такі функції, які не є елементарними. Такі функції називаються спеціальними, і для багатьох з них запроваджені спеціальні позначення. Наприклад

(інтегральна показникова функція);

(інтегральний синус);

(інтегральний косинус);

(інтегральний логарифм);

(функція Лапласа)

і багато інших. Таблиці цих і інших спеціальних функцій можна знайти в довідковій літературі з математики.