Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі

Нехай функції і диференційовні в деякому проміжку. Тоді , звідки . Інтегруючи почленно, отримаєм

, або

. (1)

Ця формула має назву «формула інтегрування частинами». Вона дозволяє звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла . Застосування цієї формули доцільне в тих випадках, коли інтеграл є «простішим» порівнянно з . Відповідне рoзбиття підінтегрального виразу на множники і вимагає певного навику. Можна вказати два типи найбільш часто вживаних інтегралів, які можуть бути обчислені інтегруванням частинами:

а) Інтеграли вигляду , , де - многочлен. В цих інтегралах треба брати , а , або , або .

б) Інтеграли вигляду , , . В цих інтегралах береться , .

В процесі інтегрування частинами доводиться знаходити функцію за її диференціалом тобто . При цьому довільну сталу вважають рівною нулю, бо на остаточний результат вона не впливає.

Іноді інтегрування частинами доводиться виконувати повторно.

Приклади. Знайти невизначені інтеграли.

а)

б)