Первісна функція. Невизначений інтеграл та його властивості

Інтегральне числення функцій однієї змінної

(конспект лекцій)

Первісна функція. Невизначений інтеграл та його властивості

В диференціальному численні основним завданням було відшукання похідної заданої функції. Але в багатьох питаннях математичного аналізу і його застосувань виникає потреба розв’язати обернену задачу: За даною функцією знайти таку функцію , похідна якої дорівнювала б , тобто .

Приклад. У диференціальному численні було показано, що миттєва швидкість прямолінійного руху точки дорівнює похідній координати точки: . Але якщо за заданою швидкістю руху точки потрібно визначити закон її руху, тобто залежність її координати від часу , то це і означає, що треба знайти таку функцію , похідна якої дорівнює заданій функції .

Означення. Функція називається первісною для функції на деякому проміжку , якщо для всіх значень виконується рівність .

Приклад. Функція є первісною для функції на всій числовій осі, бо при будь-якому значенні буде .

Зазначимо, що функції , і взагалі , де будь-яка стала, також є первісними для .

Розглянутий приклад свідчить, що первісна для даної функції визначається неоднозначно. Справді, очевидно, що якщо , то і , тобто при будь-якій сталій також є первісною для функції . Виникає питання: чи вичерпує множина функцій вигляду усю сукупність первісних для функції ? Виявляється, що так.

Теорема. Якщо - первісна для функції на деякому проміжку , то будь-яка інша первісна для на тому ж проміжку може буди подана у вигляді , де – стала.

Нехай - яка небудь інша первісна для на , тобто , . Позначимо . Тоді для будь-якого :

.

Як відомо з диференціального числення, це означає, що , отже або .
Означення. Множина всіх первісних для даної функції на проміжку називається невизначеним інтегралом від функції на цьому проміжку і позначається ( називається підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом, а - змінною інтегрування).

Згідно з вищезазначеним = , де - яка небудь первісна для функції , а – довільна стала.

Відзначимо основні властивості невизначеного інтеграла.

1) Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції: .

2) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу: .

3) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої: .

Перелічені властивості показують, що інтегрування і диференціювання

– взаємно обернені операції.

4) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла: , якщо .

5) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від доданків. Наприклад .

Властивості 4) і 5) перевіряються почленним диференціюванням відповідних рівностей на підставі 1).

Таблиця інтегралів

У наведеній нижче таблиці основних інтегралів частина формул безпосередньо випливає з таблиці похідних і визначення інтегрування як дії, оберненої до диференціювання, інші перевіряються диференціюванням. Цю таблицю необхідно вивчити, оскільки існуючі методи інтегрування якраз мають метою звести шуканий інтеграл до табличних.

1) ,

2) ,

3) , зокрема ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) .

Основні властивості невизначеного інтеграла разом з наведеною тут таблицею інтегралів уже дозволяють знаходити деякі інтеграли (метод безпосереднього інтегрування).

Приклад. Знайти інтеграли

а) .

б)

.

3. Заміна змінної в невизначеному інтегралі (метод підстановки)

Суть цього методу полягає в переході до нової змінної інтегрування з метою привести заданий інтеграл до «табличного вигляду», тобто до вигляду, що уможливлює безпосереднє інтегрування.

Теорема. Якщо , а - диференційовна функція, то

.

Справді, тобто є первісною для .

Таким чином будь-яка формула інтегрування зберігає силу, якщо в ній змінну інтегрування замінити диференційовною функцією від нової змінної. Зазвичай дана теорема використовується одним з двох способів:

1) Заданий інтеграл намагаються подати у вигляді , де для функції відома первісна , тоді . Цей спосіб називають «впровадження під знак диференціала»: .

Приклад. Знайти інтеграл

.

г) Заданий інтеграл подають у вигляді , де функція має обернену і для функції відома первісна . Тоді

.

Цей спосіб можна назвати «виведення з під знака диференціала»: .

Приклад. Знайти інтеграл