Інтегрування раціональних функцій

Нагадаємо, що раціональною функцією або раціональним дробом називається відношення многочленів:

де - многочлен степеня , а - многочлен степеня . Якщо , то раціональний дріб називається правильним, в противному разі - неправильним. З неправильного раціонального дробу можна завжди виділити цілу частину (многочлен), подавши даний дріб у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу. Оскільки інтеграл від многочлена обчислюється безпосереднім інтегруванням, то задача інтегрування будь-якої раціональної функції зводиться до інтегрування правильного раціонального дробу.

Раніше було показано, що правильний раціональний дріб завжди можна розкласти на суму простих дробів чотирьох типів. В результаті інтеграл від правильного раціонального дробу подається у вигляді суми інтегралів від простих дробів і таким чином обчислення інтеграла від раціональної функції зводиться до обчислення інтегралів від простих дробів.

Розглянемо ці інтеграли.

1) Простий дріб 1 типу:

.

2) Простий дріб 2 типу:

.

3) Простий дріб 3 типу:

Зазначимо, що тут тричлен не має дійсних коренів, тому його дискримінант а значить .

4) Простий дріб 4 типу:

Щоб завершити обчислення інтеграла потрібно обчислити інтеграл у правій частині. Для цього існує формула зниження степеня (рекурентна формула):

Повторне застосування цієї формули приводить кінець кінцем до інтеграла , який обчислюється як показано вище.

Таким чином кожен простий дріб має первісну, яка виражається в скінченному вигляді через елементарні функції: раціональну функцію, логарифм і арктангенс. Це означає, що будь-яка раціональна функція за встановленим алгоритмом інтегрується в елементарних функціях. Якщо підінтегральна функція не є раціональною, але можна вказати підстановку, яка приводить заданий інтеграл до інтеграла від раціональної функції, то цим задача обчислення інтеграла цілком розв’язується (інтеграл, як кажуть, «раціоналізується»).

Приклад. Знайти інтеграл .

Під знаком інтеграла правильний раціональний дріб, розкладемо його в суму простих дробів

.

Зведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо чисельники лівої і правої частини:

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , отримуємо систему рівнянь

.

Розв’язок цієї системи .

Тоді

6. Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Означенн я. Раціональною функціє від змінних називається така функція, в якій над цими змінними і сталими числами виконується скінченне число чотирьох арифметичних дій.

Наприклад, раціональною функцією відносно змінних є функція .

Якщо змінні в свою чергу є функціями від , то ми говоримо про раціональну функцію відносно цих функцій. Так, функція є раціональною функцію від функцій , , тобто але відносно змінної ця функція не є раціональною.

Розглянемо деякі випадки, коли інтеграли від ірраціональних функцій належною підстановкою зводяться до інтегралів від раціональних функцій («раціоналізуються»).

1) Інтеграли вигляду раціоналізуються підстановкою , де - спільний знаменник дробів ,…, .

Справді, якщо , то виражаючи через , одержуємо , тобто і виражаються через раціональні функції від . Далі, кожний степінь дробу виражається через цілий степінь змінної , і в результаті підінтегральна функція перетворюється в раціональну функцію від , що і було метою підстановки.

Приклад. Знайти інтеграл .

Виконаємо заміну змінної, поклавши , тоді , .

2) Інтеграли вигляду .

Якщо тричлен має дійсні корені і , то , і інтеграл приймає вигляд , а це інтеграл уже розглянутого вигляду. Як у цьому випадку, так і у випадку відсутності дійсних коренів у тричлена , даний інтеграл можна раціоналізувати за допомогою підстановок Ейлера:

1) якщо , то .

2) Якщо , то

Приклад. Знайти інтеграл . Застосуємо другу підстановку Ейлера: , тоді , звідки , , , .

В результаті отримуємо

Підстановки Ейлера завжди дозволяють раціоналізувати інтеграли вигляду , але застосування цих підстановок часто пов’язане з дуже громіздкими обчисленнями. Досить часто менш трудомістким виявляється обчислення таких інтегралів за допомогою так званих тригонометричних підстановок. При цому інтеграл спочатку підстановкою (вилученням повного квадрата в підкорінному виразі) зводиться до одного з таких інтегралів:

а) б) в) ,

a ці інтеграли перетворюються в інтеграли вигляду підстановками відповідно а) ; б) ; в) .

Про обчислення інтегралів йтиме мова далі.