Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції

1) Інтеграли , де - раціональна функція, завжди можуть бути раціоналізовані так званою універсальною підстановкою .

Тоді , звідки , крім того

Тому де - раціональна функція.

Приклад. Знайти інтеграл .

Застосовуючи універсальну підстановку, маємо:

Слід зазначити, що застосування універсальної підстановки приводить часто до дуже громіздких обчислень. Тому, там де можливо, використовують інші підстановки. Розглянемо деякі окремі випадки.

а) Функція непарна відноснo , тобто . В цьому випадку інтеграл раціоналізується підстановкою . Зокрема так обчислюються інтеграли вигляду , якщо - непарне число. Справді,

, і ми одержуємо інтеграл від многочлена.

б) Функція непарна відносно тобто . В цьому випадку інтеграл раціоналізується підстановкою . Зокрема, за допомогою цієї підстановки обчислюється інтеграл вигляду , якщо - непарне число.

в) Функція парна відносно і , тобто . В цьому випадку інтеграл раціоналізується підстановкою .

Що до інтеграла вигляду при парних невід’ємних і , то для його обчислення доцільно перетворити підінтегральну функцію за формулами подвоєння аргументу: , . При необхідності це перетворення повторюють до отримання інтегралів, розглянутих вище у випадках а) і б).

г) Інтеграли вигляду , , обчислюються за допомогою формул, які перетворюють добуток тригонометричних функцій в суму:

Приклади. Знайти інтеграли:

а) .

Підінтегральна функція непарна відносно , тому скористаємося підстановкою . Тоді , . Отримуємо

б)

в)

.

г)