Необходимое и достаточное условие сходимости

До сих пор мы с вами выясняли вопрос о сходимости последовательности в соответствии с определением предела, т.е. нам приходилось оценивать разность элементов этой последовательности и ее предполагаемого предела a. Иными словами, приходилось предугадывать, чему равен предел а.

Хорошо бы иметь такой критерий сходимости последова-тельности, который имеет дело только с самими ее элементами. Такой критерий имеется. Для его формулировки сначала введем понятие фундаментальной последовательности.

Определение.

Последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется номер такой, что для всех справедливо неравенство .

Теорема (критерий Коши; Коши – известный французский математик 19 века). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Эта теорема дается без доказательства.

Пример.

Применим критерий Коши для установления сходимости следующей последовательности : , где – произвольные вещественные числа, удовлетворяющие условию Пусть m и n – любые два натуральных числа. Пусть для определенности m > n. Тогда

Учитывая, что , для любого найдется номер N такой, что Тогда при , т.е. последователь-ность фундаментальна и сходится. При n > m доказательство аналогичное.