Понятие о подпоследовательности числовой по-

Пусть – некоторая последовательность. Рассмотрим произвольную бесконечную возрастающую последовательность целых положительных чисел . Выберем из последовательности элементы с номерами , расположив их в таком же порядке, как и числа .

Полученная последовательность называется подпоследо-вательностью последовательности .

Теорема Больцано–Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

Т.к. последовательность ограничена, все ее элементы принадлежат некоторому отрезку [ a, b ], который обозначим через . Поделим пополам отрезок [ a, b ] и в качестве возьмем ту его половину, к которой принадлежит бесконечное число элементов . Выберем какой-либо элемент . Снова поделим пополам и возьмем , содержащее бесконечное число элементов . Выберем с номером (это всегда можно сделать, т. к. в – бесконечное число элементов). Продолжая этот процесс, получим последовательность отрезков , таких, что каждый последующий принадлежит предыдущему, а Тогда по принципу вложенных отрезков существует точка для всех k. Очевидно, выбранная таким образом подпоследовательность имеет своим пределом C.