Теорема 2

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема доказывается аналогично предыдущей, только вместо неравенства следует взять неравенство .

Следствие.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3.

Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть – бесконечно малая последовательность и – произвольное число. Пусть N – номер, начиная с которого . Тогда любой член последовательности с номером ограничен по модулю числом . Из оставшихся первых членов выберем наибольший по модулю: и зададим . Тогда для всех членов последовательности , что и означает ограниченность последовательности. Теорема доказана.

Теорема 4.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство:

Пусть – ограниченная, а – бесконечно малая последовательности. Т.к. ограничена, то существует число A>0, такое, что любой член x_n удовлетворяет неравенству Возьмем произвольное . Поскольку – бесконечно малая последовательность, то для положительного числа можно указать номер N такой, что при . Тогда при . Поэтому последовательность – бесконечно малая. Теорема доказана.

Следствие.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Теорема 5.

Если – бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера n определена последовательность , которая является бесконечно малой последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность бесконечно большая.

Доказательство:

Во-первых, надо четко понимать, почему в формулировке теоремы имеются слова “начиная с некоторого номера”. Дело в том, что у бесконечно большой последовательности могут встретиться нулевые члены и тогда последовательность не определена. Но вспомним определение бесконечно большой последовательности – у этой последовательности, начиная с некоторого номера N^*, все члены по модулю превосходят любое положительное число A. Следовательно, у бесконечно большой последовательности нулевых членов может быть лишь конечное число. Другими словами, начиная с номера N^*, последовательность оказывается определенной и формулировка теоремы справедлива для n>N^*.

Докажем теперь, что – бесконечно малая последовательность. Пусть – любое положительное число. Для числа можно указать номер такой, что при члены x_n последовательности удовлетворяют неравенству . Поэтому, начиная с указанного номера N, выполняется неравенство .

Таким образом, доказано, что – бесконечно малая последовательность.

Доказательство второй части теоремы провести самостоятельно (оно аналогично только что приведенному).