Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Теорема 2
|
|
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема доказывается аналогично предыдущей, только вместо неравенства 
следует взять неравенство 
.
Следствие.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3.
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть 
– бесконечно малая последовательность и 
– произвольное число. Пусть N – номер, начиная с которого 
. Тогда любой член последовательности с номером 
ограничен по модулю числом 
. Из оставшихся первых 
членов выберем наибольший по модулю: 
и зададим 
. Тогда для всех членов последовательности 
, что и означает ограниченность последовательности. Теорема доказана.
Теорема 4.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство:
Пусть 
– ограниченная, а – бесконечно малая последовательности. Т.к. ограничена, то существует число A>0, такое, что любой член xn удовлетворяет неравенству 
Возьмем произвольное . Поскольку – бесконечно малая последовательность, то для положительного числа 
можно указать номер N такой, что при 
. Тогда при 
. Поэтому последовательность 
– бесконечно малая. Теорема доказана.
Следствие.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Теорема 5.
Если – бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера n определена последовательность 
, которая является бесконечно малой последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности 
не равны нулю, то последовательность 
бесконечно большая.
Доказательство:
Во-первых, надо четко понимать, почему в формулировке теоремы имеются слова “начиная с некоторого номера”. Дело в том, что у бесконечно большой последовательности могут встретиться нулевые члены и тогда последовательность не определена. Но вспомним определение бесконечно большой последовательности – у этой последовательности, начиная с некоторого номера N*, все члены по модулю превосходят любое положительное число A. Следовательно, у бесконечно большой последовательности нулевых членов может быть лишь конечное число. Другими словами, начиная с номера N*, последовательность 
оказывается определенной и формулировка теоремы справедлива для n>N*.
Докажем теперь, что – бесконечно малая последовательность. Пусть – любое положительное число. Для числа 
можно указать номер 
такой, что при члены xn последовательности удовлетворяют неравенству 
. Поэтому, начиная с указанного номера N, выполняется неравенство 
.
Таким образом, доказано, что – бесконечно малая последовательность.
Доказательство второй части теоремы провести самостоятельно (оно аналогично только что приведенному).
Date: 2015-09-02; view: 476; Нарушение авторских прав