Основные теоремы о пределах

Теорема 1.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

Предположим, что сходящаяся последовательность имеет два предела a и b. Выберем возле точек a и b на числовой оси интервалы (c, d) и (e, f), настолько малые, чтобы они не пересекались. Теперь воспользуемся третьим определением предела: если число a является пределом , то вне интервала (c, d) имеется только ограниченное число членов последовательности. Но это означает, что интервал (e, f) не может содержать бесконечное число членов последовательности . Это противоречие доказывает, что сходящаяся последовательность может иметь только один предел. Теорема доказана.

Теорема 2.

Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть . Тогда можно представить в виде , где – бесконечно малая последовательность. Но бесконечно малая последовательность ограничена, т.е. найдется A>0, такое, что при всех n. Тогда . Это неравенство выполняется для всех n, а это означает ограниченность последовательности . Теорема доказана.

Еще несколько теорем о пределах. Пусть даны две сходящихся последовательности и .

Значения определяют последовательности . Справедливы равенства:

; (1)

; (2)

, если . (3)

Эти формулы фактически задают арифметические действия с переменными, имеющими предел.

Доказательство равенства (1):

Пусть Выберем и подберем N так, чтобы при Тогда при Равенство доказано.

Доказательство равенства (2):

Представим и в виде: где и – члены бесконечно малых последовательностей. Тогда Поэтому . При этом последовательность – бесконечно малая последовательность, т.к. бесконечно малой последовательностью является каждая из трех переменных . Поэтому последовательность также бесконечно малая, а последовательность сходится и ab – ее предел. Равенство доказано.

Для доказательства равенства (3) сначала докажем лемму.

Лемма.

Если последовательность сходится и имеет отличный от нуля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Доказательство:

Пусть начиная с которого выполняется неравенство или Тогда , , т.е. . Поэтому при . Следовательно, начиная с этого N мы можем рассматривать последовательность и она ограничена. Лемма доказана.

Доказательство равенства (3):

Если , где – бесконечно малые последовательности. Тогда

Таким образом Равенство (3) доказано.

Итак, мы выяснили, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами. Этот очень важный вывод поможет вычислять пределы различных последовательностей.

Оказывается, что если элементы (члены) сходящихся последовательностей удовлетворяют некоторым неравенствам, то таким же неравенствам удовлетворяют и пределы их последовательностей.

Теорема.

Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Доказательство:

Пусть начиная с некоторого номера все элементы удовлетворяют неравенству Требуется доказать, что . Предположим противное, т.е. что . Введем . Для этого существует номер такой, что при или . Из правого неравенства тогда следует, что , а это противоречит условию теоремы. Случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Следствие 1.

Если элементы и сходящихся последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и их пределы удовлетворяют такому же неравенству .

Следствие 2.

Если все элементы сходящейся последовательности находятся на отрезке , то и ее предел С также находится на этом отрезке.

Теорема.

Пусть и – сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам Тогда последовательность сходится и имеет предел a.

Доказательство:

Пусть N^* – номер, начиная с которого выполняются неравенства Тогда с этого же номера выполняются неравенства

Очевидно, что при N^*

Т.к. то для любого можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при N₁ , а при N₂ .

Пусть Очевидно, при N , т.е. последовательность – бесконечно малая последовательность. Теорема доказана.

Date: 2015-09-02; view: 429; Нарушение авторских прав