Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство:
Предположим, что сходящаяся последовательность имеет два предела a и b. Выберем возле точек a и b на числовой оси интервалы (c, d) и (e, f), настолько малые, чтобы они не пересекались. Теперь воспользуемся третьим определением предела: если число a является пределом , то вне интервала (c, d) имеется только ограниченное число членов последовательности. Но это означает, что интервал (e, f) не может содержать бесконечное число членов последовательности . Это противоречие доказывает, что сходящаяся последовательность может иметь только один предел. Теорема доказана.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть . Тогда можно представить в виде , где – бесконечно малая последовательность. Но бесконечно малая последовательность ограничена, т.е. найдется A>0, такое, что при всех n. Тогда . Это неравенство выполняется для всех n, а это означает ограниченность последовательности . Теорема доказана.
Еще несколько теорем о пределах. Пусть даны две сходящихся последовательности и .
Значения определяют последовательности . Справедливы равенства:
; (1) ; (2) , если . (3)
Эти формулы фактически задают арифметические действия с переменными, имеющими предел.
Доказательство равенства (1): Пусть Выберем и подберем N так, чтобы при Тогда при Равенство доказано. Доказательство равенства (2): Представим и в виде: где и – члены бесконечно малых последовательностей. Тогда Поэтому . При этом последовательность – бесконечно малая последовательность, т.к. бесконечно малой последовательностью является каждая из трех переменных . Поэтому последовательность также бесконечно малая, а последовательность сходится и ab – ее предел. Равенство доказано. Для доказательства равенства (3) сначала докажем лемму. Лемма. Если последовательность сходится и имеет отличный от нуля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
Доказательство: Пусть начиная с которого выполняется неравенство или Тогда , , т.е. . Поэтому при . Следовательно, начиная с этого N мы можем рассматривать последовательность и она ограничена. Лемма доказана.
Доказательство равенства (3): Если , где – бесконечно малые последовательности. Тогда Таким образом Равенство (3) доказано.
Итак, мы выяснили, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами. Этот очень важный вывод поможет вычислять пределы различных последовательностей. Оказывается, что если элементы (члены) сходящихся последовательностей удовлетворяют некоторым неравенствам, то таким же неравенствам удовлетворяют и пределы их последовательностей.
Теорема. Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .
Доказательство: Пусть начиная с некоторого номера все элементы удовлетворяют неравенству Требуется доказать, что . Предположим противное, т.е. что . Введем . Для этого существует номер такой, что при или . Из правого неравенства тогда следует, что , а это противоречит условию теоремы. Случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Следствие 1. Если элементы и сходящихся последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и их пределы удовлетворяют такому же неравенству .
Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности находятся на отрезке , то и ее предел С также находится на этом отрезке.
Теорема. Пусть и – сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам Тогда последовательность сходится и имеет предел a. Доказательство: Пусть N* – номер, начиная с которого выполняются неравенства Тогда с этого же номера выполняются неравенства Очевидно, что при N* Т.к. то для любого можно указать номера N1 и N2 такие, что при N1 , а при N2 . Пусть Очевидно, при N , т.е. последовательность – бесконечно малая последовательность. Теорема доказана.
|