Ограниченные и неограниченные последователь-

Определение.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m), что каждый член x_n последовательности удовлетворяет неравенству При этом M и m называются соответственно верхней и нижней гранями последовательности .

Очевидно, любая ограниченная сверху последователь-ность имеет бесконечное число верхних граней: любое число M^*, большее M, также является верхней гранью. Аналогичное замечание имеет место для нижней грани.

Определение.

Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существует такие числа m и M, что любой член последовательности x_n удовлетворяет неравенствам

Если последовательность ограничена и M и m – ее верхняя и нижняя грани, то все члены x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству

, (*)

где

Верно и обратное: если все члены последовательности x_n удовлетворяют неравенству (*), то последовательность ограничена.

Последовательность называется неограниченной, если для любого А>0 найдется член x_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству

.

Примеры:

Рассмотрим последовательность

1) .

Эта последовательность ограничена. Действительно, любое число является ее верхней гранью, а любое число – нижней гранью.

2) –1, –4, –9,..., –n²,....

Последовательность ограничена сверху и не ограничена снизу.

3) –1, 2, –3, 4,....

Последовательность не ограничена.