Удк 514

ББК 22.143

Логинов В.А. Дифференциальное исчисление. – М. Альтаир, 2007. – 154с.

Курс лекций по дифференциальному исчислению подготовлен доцентом кафедры высшей математики Московской государственной академии водного транспорта, кандидатом технических наук В.А. Логиновым.

Курс лекций предназначен для студентов МГАВТ и полностью соответствует учебным программам по дисциплине «Математика» для технических и экономических специальностей.

Изложены теория пределов последовательностей и функций, основы дифференциального исчисления функции одной переменной, приложения производной к исследованию функций и построению их графиков. Даны основы дифференциального исчисления функций многих переменных.

Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики

Протокол № от 2006 г.

Рекомендовано к изданию на Учебно-методическом совете МГАВТ

Протокол № от 2006 г.

Рецензент доцент Бакулин С.А.

УДК 514

ББК 22.143

© Логинов В.А., 2007.

© МГАВТ, 2007.

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ...........................................................................6

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.............................................................. 7

1.1. Основные элементарные функции.......................................... 7

1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел...................... 7

1.1.2. Основные операции над множествами............................... 8

1.1.3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху

или снизу.................................................................................. 8

1.1.4. Понятие о функции................................................................ 9

1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и

бесконечно большие последовательности. Основные

теоремы о пределах.............................................................. 20

1.2.1. Предел поcледовательности............................................... 20

1.2.2. Ограниченные и неограниченные

последовательности............................................................. 24

1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие

последовательности............................................................. 26

1.2.4. Теоремы о бесконечно малых последовательностях.... 28

1.2.5. Основные теоремы о пределах.......................................... 31

1.2.6. Монотонные последовательности.................................... 36

1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой

последовательности............................................................. 41

1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости

последовательности. Критерий Коши............................... 42

1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции.. 44

1.3.1. Определение предела функции.......................................... 44

1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела

функции)................................................................................. 47

1.3.3. Непрерывность функции в точке...................................... 47

1.3.4. Односторонние пределы..................................................... 50

1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке....................... 52

1.3.6. Два замечательных предела................................................ 54

1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их

применение для вычисления пределов............................. 59

1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании и

непрерывности обратной функции.................................... 60

1.3.9. Разрывы первого и второго рода...................................... 63

1.3.10. Функции, непрерывные на отрезке................................. 65

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ……………………………….…...66

2.1. Производная. Ее физический и геометрический смысл... 66

2.2. Основные правила и формулы дифференцирования........ 70

2.3. Дифференциал функции......................................................... 73

2.4. Производная сложной функции, обратной функции,

функции, заданной параметрически..................................... 75

2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функции.... 79

2.6 Производные высшего порядка. Формула Лейбница........ 79

2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности точки.

Локальный экстремум............................................................. 84

2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем........ 86

2.9. Критерии возрастания и убывания функции на

интервале.Теорема о производной функции,

возрастающей на отрезке ………………………………..88

2.10. Формула Тейлора.................................................................. 90

2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя........ 95

2.12. Исследование функции одной переменной..................... 99

2.12.1. Отыскание участков монотонности функции............... 99

2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума................. 100

2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба... 104

2.12.4. Асимптоты графика функции........................................ 108

2.12.5. Общая схема исследования функциии и построе-

ния ее графика…………………………………………111

2.13. Наибольшее и наименьшее значения функции,

непрерывной на отрезке………………………………115

3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ…………..116

3.1. Примеры функций нескольких переменных…………..116

3.2. Определение функции двух переменных. Область

определения функции двух переменных………………..116

3.3. Геометрическое изображение функции двух

переменных............................................................................. 117

3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных.... 118

3.5. Частные приращения и частные производные................. 120

3.6. Полное приращение и полный дифференциал.

Использование дифференциала для приближенных

вычислений………………………………………………123

3.7. Сложная функция и ее полная производная…………...126

3.8. Производная неявно заданной функции……………….129

3.9. Частные производные высших порядков......................... 131

3.10. Производная по направлению…………………………133

3.11. Градиент……………………………………………...…138

3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных…..141

3.13. Экстремум функции двух переменных........................... 145

3.14. Условный экстремум функции многих переменных.... 148

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий курс лекций соответствует утвержденным рабочим программам по дисциплине «Математика» для студентов МГАВТ инженерных и экономических специальностей.

В лекциях отражены разделы высшей математики, изучаемые студентами во II семестре: теория пределов последовательностей и функций, основы дифференциального исчисления функции одной переменной, приложения производной к исследованию функций и посроению их графиков, основы дифференциального исчисления функций многих переменных.

В качестве задачника для практических занятий автор рекомендует «Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов» под редакцией Б.П. Демидовича, а также задачник П.Е. Данко, А.Г. Попова и Т.Я. Кожевниковой «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть I.