Заменив y' на , а затем, умножив все члены на dx, получим

dy = 2 dx+ ydx, т.е. dy = (2+ y) dx.

Разделим обе части равенства на (2+y) и проинтегрируем:

; ; ln(2+ y) = x + ln | C |.

Выразим x через логарифм: x = ln e^x. Тогда получим

ln(2 + y) = ln e^x + ln| C |.

Потенцируя, находим: 2 + y = C e^x, y = C e^x - 2.

Это общее решение данного уравнения. Подставим в общее решение x =0, y= 3 и определим C: 3= C e ⁰ - 2; 3 = C - 2; C = 5. Итак, y = 5 e^x - 2. Ñ

Пример 3. Найти общее решение уравнения (x ² y ² - x ² y) dy - xy ² dx = 0, x ¹ 0.

ΔРазделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом: x ² y (y -1) dy = xy ² dx, или ,

полагая y ¹0. Проинтегрируем обе части последнего равенства:

,

откуда y -ln| y |=ln| x |+ C _1.

Для удобства потенцирования представим y в виде y = ln e^y и постоянную интегрирования C ₁ в виде C ₁= - ln| C |, C ¹ 0. Имеем

ln e^y -ln| y | = ln| x |-ln| C |.

Потенцируя, получим

, или С e^y=xy, C ¹0.

В процессе решения мы предполагаем y ¹0. Однако легко убедиться проверкой, что y =0 – решение данного уравнения. Следовательно, сняв ограничение С ¹0, получим, что

Ce^y=xy

– общее решение данного уравнения. Решение y =0 получается отсюда как частное решение при C =0.

Отметим в заключение, что ряд задач на составление дифференциальных уравнений приводит к уравнению вида

,

(2.4)

где k − постоянная величина. Его смысл состоит в том, что скорость изменения функции пропорциональна самой функции.

Разделяя переменные и интегрируя, находим последовательно:

y=Ce^kx. Ñ

Общее решение раскрывает смысл названия уравнения (2.4). Его называют уравнением показательного роста.