I. Уравнение вида

(6.9)

не содержит явным образом искомой функции .

Полагая и , получим уравнение первого порядка

с неизвестной функцией . Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение: а затем из соотношения получаем общий интеграл уравнения (6.9):

.

Пример 4. Решить уравнение x(y''+1) + y ' =0 (x¹0).

D Полагая откуда получим

или .
Это уравнение – однородное. Полагаем .

Цепочка преобразований:

Интегрируя, находим . Ñ

Пример 5. Решить уравнение x³ y'' + x²y' =1 (x¹0).

D Положим , тогда Уравнение примет вид:

или .

Это уравнение линейное .

Цепочка преобразований: . Отсюда

получаем два уравнения: 1) .

Зная и , находим

Далее, Ñ

II. Уравнение вида

(6.10)

не содержит явным образом независимого переменного .

Полагая здесь

и ,

получим дифференциальное уравнение первого порядка , где роль независимой переменной играет . Интегрируя его, находим .

Подставляя это значение в соотношение , получаем дифференциальное уравнение первого порядка для функции от : .

Разделяя переменные, находим: .

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения:

.

Пример 6. Решить уравнение .

D . Подставляем в исходное уравнение: .(Учитываем: , т.е. ).

Ñ

Пример 7. Решить уравнение .

D . Подставляем в исходное уравнение:

Отсюда: 1) , т.е. .

2) . Цепочка преобразований: ,

, , , ,

. Ñ

Пример 8. Решить уравнение .

D

Цепочка преобразований:

Ñ

7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами содержат у, у ', у'' в первой степени и коэффициенты при них – постоянные величины

Определение 1. Два частных решения и уравнения (7.1) образуют фундаментальную систему решений, если для любого

y ₁(x) y ₂(x)

W ( x ) = ¹ 0 (7.2)