I. Теоремы о средних значениях

Основные теоремы дифференциального исчисления

Справочный материал

I. Теоремы о средних значениях

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) удовлетворяет условиям:

1⁰ дифференцируема в интервале (a;b)

2⁰ достигает наибольшего (наименьшего) значения во внутренней точке х ₀Î(a;b).

Тогда f ¢(x ₀)=0.

Геометрический смысл: В точке х ₀, удовлетворяющей условиям теоремы, касательная к графику y=f(x) параллельна Ох.

Замечание: Если нарушается хотя бы одно из условий теоремы, то производная f ¢(x ₀) может и не быть нулем. Например, в точке экстремума производная может вообще не существовать.

Теорема Ролля. Если функция y=f(x) удовлетворяет условиям:

1⁰ непрерывна на [ a;b ]

2⁰ дифференцируема в (a;b)

3⁰ f(a)=f(b)

Теорема Коши (об отношении приращений двух функций). Если функции y=f(x) и y=j (x) удовлетворяют условиям:

1⁰ непрерывны на [ a;b ]

2⁰ дифференцируемы в (a;b)

3⁰ j ¢(x)¹0, " х Î(a;b)

Тогда $ с Î(a;b): .

Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция y=f(x) удовлетворяет условиям:

1⁰ непрерывна на [ a;b ]

Геометрический смысл: На кривой графика дифференцируемой функции найдётся точка, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы дуги .