Т е о р е м а у м н о ж е н и я в е р о я т н о с те й

д л я н е с к о л ь к и х с о б ы т и й

Р = Р Р Р Р

В случае, когда события независимы, т. е. появление любого числа из них не меняет вероятностей появления остальных,

Р Р .

Пример3. В урне 5 белых и 2 черных шара. Из нее извлекают наугад 3 шара. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится белый шар (событие А ), при втором – снова белый шар (событие А ) и при третьем – черный (событие В).

Решение. События А , А и В – зависимые. Нас интересуют появление и события А , и события А , и события В, т.е. их произведение А А В. Тогда имеем

Р = Р Р Р = .

Пример 4. Те же условия, что и в предыдущем примере, но каждый раз шары возвращаются в урну и все шары в урне перемешиваются.

Решение. По условию задачи события А , А и В – независимые. Тогда имеем

Р = Р Р Р = .

Пример 5. На семи одинаковых карточках написаны буквы а, а, в, о, р, с, т. какова вероятность того, что

1) извлекая все карточки по одной наудачу, получим в порядке их выхода слово «Саратов»;

2) извлекая пять карточек по одной наудачу, получим в порядке их выхода слово «товар»?

Решение.

1) Обозначим через события «появления букв» с, а, р,а, т, о, в соответственно. События - зависимые. Нас интересует появление события .

Тогда получим

2) Обозначим через события «появления букв» т, о, в, а, р соответственно. Найдем вероятность события

.

Пример 6. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7 и для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что произойдут два попадания в цель, если каждый из трех стрелков сделает по одному выстрелу. Через В, С, D обозначим попадание в цель соответственно первым стрелком; вторым и третьим; - промахи первым, вторым и третьим стрелком.

Очевидно, что

.

Применив теоремы сложения и умножения вероятностей, получим

Здесь воспользовались свойством противоположных событий, например, нашли из равенства Р(В) + = 1.

Изучите правило нахождения вероятности хотя бы одного события (см. §5 гл.III [1]).

· Г е о м е т р и ч е с к и е в е р о я т н о с т и.