Задача ДТ.3. Інтегрування диференціального рівняння руху матеріальної точки, на яку діють сталі сили

Варіанти 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28: Мотоцикл під дією сталої сили піднімається с по ділянці довжиною , яка складає з горизонтом кут (рис. 1). Мотоцикл має в точці швидкість . В точці він досягає швидкості , перелітає через рів шириною і через с приземляється в точці , маючи швидкість . Маса мотоцикла з мотоциклістом . При розв’язку задачі мотоцикл з мотоциклістом вважати матеріальною точкою, нехтувати тертям кочення та силою опору повітря.

Варіант № 1. Дано: = 30°; = 400 кг, = 2,2 кН; = 0; = 40 м;
= 5 м. Знайти та .

Варіант № 4. Дано: = 30°; 0; = 40 м; = 0; = 4,5 м/с;
= 3 м. Знайти та .

Варіант № 7. Дано: = 30°; = 0; = 2 кН; = 50 м; = 2 м; = 4 м. Знайти та .

Варіант № 10. Дано: = 30°; = 0; = 40 м; = 4,5 м/с; = 2,5 м. Знайти та .

Варіант № 13. Дано: = 30°; = 400 кг, = 0; = 20 с; =3 м;
= 1,5 м. Знайти та .

Варіант № 16. Дано: = 30°; 0; = 40 м; = 0; = 4,5 м/с;
= 3 м. Знайти та .

Варіант № 19. Дано: = 30°; = 0; = 45 м; = 5,5 м/с; = 2,0 м. Знайти та .

Варіант № 22. Дано: = 30°; = 400 кг, = 0; = 20 с; = 3 м;
= 1,5 м. Знайти та .

Варіант № 25. Дано: = 30°; = 350 кг, = 2,0 кН; = 0; = 45 м;
= 7 м. Знайти та .

Варіант № 28. Дано: = 30°; = 0; = 2,4 кН; = 50 м; =3 м;
= 5 м. Знайти та .

Варіанти 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29: Тіло рухається з точки по ділянці довжиною , яка складає з горизонтом кут . Його початкова швидкість , а коефіцієнт тертя ковзання на ділянці дорівнює (рис. 2). Через с в точці воно покидає похилу площину зі швидкістю і падає на горизонтальну площину в точці , маючи швидкість , перебуваючи в повітрі с.

При розв’язку задачі тіло вважати матеріальною точкою масою та нехтувати силою опору повітря.

Варіант № 2. Дано: = 0;
= 30°; = 0,2; = 6 м; = 4,5 м. Знайти та .

Варіант № 5. Дано: = 30°;
= 0,1; = 1 м/с; = 1,5 с; = 10 м. Знайти та .

Варіант № 8. Дано: = 0; = 0; = 9,81 м; = 2 с; = 20 м. Знайти та .

Варіант № 11. Дано: = 0; = 45°; = 10 м; = 2 с. Знайти та рівняння траєкторії на ділянці .

Варіант № 14. Дано: = 0; = 30°; = 0,2; = 10 м; = 12 м. Знайти та

Варіант № 17. Дано: = 30°; = 0,15; = 1,5 м/с; = 2,0 с; = 12 м. Знайти та .

Варіант № 20. Дано: = 0; = 45°; = 10 м; = 2 с. Знайти та рівняння траєкторії на ділянці .

Варіант № 23. Дано: = 0; = 0; = 5,5 м; = 1,5 с; = 20 м. Знайти та .

Варіант № 26. Дано: = 0; = 30°; = 0,2; = 10 м; = 12 м. Знайти та

Варіант № 29. Дано: = 0; = 30°; = 0,15; = 6 м; = 5,5 м. Знайти та .

Варіанти 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30: Лижник підходить до точки трампліна довжиною , який складає з горизонтом кут , зі швидкістю (рис. 3). Коефіцієнт тертя ковзання на ділянці дорівнює . Лижник від до рухається с і в точці зі швидкістю він покидає трамплін. Через с лижник приземляється зі швидкість в точці гори, яка складає кут з горизонтом.

Варіант № 3. Дано: = 20°; = 0,1; = 16 м/с; = 5 м;
= 60°. Знайти та

Варіант № 6. Дано: = 15°; = 0,15; = 0,2 с; = 40 м;
= 30°. Знайти та .

Варіант № 9. Дано: = 18 м/с; = 0; = 0,3 с; = 15 м/с; = 60°. Знайти та .

Варіант № 12. Дано: = 15°; = 0; = 12 м/с; = 50 м;
= 60°. Знайти та рівняння траєкторії лижника на ділянці .

Варіант № 15. Дано: = 15°; = т0,3 с; = 0,1; 42 м; =45°. Знайти та .

Варіант № 18. Дано: = 20°; = 0,1; = 0,2 с; = 40 м; = 30°. Знайти та .

Варіант № 21. Дано: = 15°; = 0,1; = 16 м/с; = 5 м; = 45°. Знайти та .

Варіант № 24. Дано: = 21 м/с; = 0; = 0,3 с; = 20 м/с; = 60°. Знайти та .

Варіант № 27. Дано: = 15°; = 0,3 с; = 0,1; м; = 30°. Знайти та .

Варіант № 30. Дано: =15°; = 0; = 12 м/с; = 50 м; = 60°. Знайти та рівняння траєкторії лижника на ділянці .

Приклад. Тіло рухається з точки похилої площини маючи початкову швидкість 12 м/с. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1, кут нахилу площини до горизонту . Через 0,5 с тіло покидає похилу площину і падає на горизонтальну площину в точці (рис. 4).

Визначити довжину похилої площини, швидкість точки в кінці похилої площини, а також координати () точки падіння, швидкість тіла в момент падіння тіла на горизонтальну площину, та кут падіння.

Розв’язок. Розглянемо рух тіла по похилій площині. Приймаємо тіло за матеріальну точку, на яку діють сили: вага , нормальнареакція N та сила тертя ковзання . Рівняння руху точки має вид

. (1)

, (2)

, (3)

отже .

Оскільки , перепишемо (2) в наступному вигляді

,

де м/с.

Інтегруючи двічі останнє диференційне рівняння, отримуємо:

,

.

Для визначення сталих інтегрування , та скористаємося початковими умовами: 0, , і отримуємо:

, = 0,

Тоді, остаточно, для координати тіла та його швидкості на першому етапі руху маємо:

, (4)

. (5)

Ці рівняння дозволяють визначити швидкість тіла в момент часу , коли тіло покидає похилу площину та довжину похилої площини:

(м/с), (6)

(м). (7)

Далі розглянемо рух тіла від точки до точки падіння . На цій ділянці діє лише сила тяжіння тому диференціальне рівняння руху має вид

.

Розташуємо початок нової декартової системи координат в точці (рис. 4), спрямувавши вісі відповідно горизонтально та вертикально вгору, і тоді отримуємо наступні диференціальні рівняння руху на другій ділянці руху:

, . (8)

Початкові умови на цій ділянці наступні:

,

7,8 (м/с),

4,5 (м/с).

Двічі інтегруємо диференціальні рівняння (8) і послідовно отримаємо:

, ,

, .

Запишемо отримані рівняння для моменту часу = 0:

, ,

, ,

і знайдемо з них сталі інтегрування:

,

(м/с), ( м/с).

Таким чином, рівняння для визначення координат та компонентшвидкості на другої ділянці руху набувають вигляду:

( м/с ), ( м/с),

(м), (м).

Точка падіння тіла на площину (дивись рис. 1) має координату

(м),

що дозволяє записати рівняння для визначення часу руху тіла та ділянці

,

розв’язок якого дає с.

Цей час дозволяє визначити - координату точці падіння тіла

(м),

компоненти швидкості:

(м/с), (м/с),

і також модуль швидкості в точці падіння

(м/с).

Кут з горизонтом (під яким тіло падає на площину) знайдемо з геометричних міркувань (дивись рис. 4)

,

що дає .

Відповідь: = 5,25 м, м/с, м, м, м/с,