Задача ДТ.2. Інтегрування диференціального рівняння руху матеріальної точки, на яку діє сила тяжіння

Знайти закон руху тіла масою m (кг), що почало рухатись в полі тяжіння Землі зі швидкістю (м/с) з точки (м). Визначити координати та швидкість тіла, тангенціальну та нормальну сили і радіус кривизни траєкторії у заданий момент часу (с). Опором повітря знехтувати, прискорення вільного падіння вважати 9,8 м/с². Всі вектори зобразити на малюнку у зручному масштабі. Дані приведені у таблиці 2.

Таблиця 2

Вихідні дані для виконання задачі ДТ.2

№	m						№	m						№	m
	0,5					*		3,0							0,5					**
	2,0							4,0							5,0
	3,0							2,0					*		4,0					*
	4,0							4,0							3,0
	4,0					**		0,5					**		2,0					**
	0,5							4,0							4,0
	3,0							0,5					*		5,0
	4,0							3,0							3,0
	2,0							0,5							0,5
	4,0							5,0					*		5,0					*

* в найвищій точці траєкторії;

** в момент падіння на Землю.

Приклад. Знайти для початкових умов , координати та швидкість тіла, нормальне та тангенціальне прискорення і радіус кривизни траєкторії в момент часу = 1 с. Прискорення вільного падіння вважати рівним 9,8 м/с².

Розв’язок. Дані початкові умови визначають конкретний вигляд рівнянь руху тіла в полі тяжіння Землі Скористаємося отриманими формулами (13) та (14), які згідно умовам задачі приймають вид:

,

.

Підставляючи час = 1 с, отримаємо координати тіла:

= 35 (м), = 60,1 (м).

Згідно формули (8) горизонтальна компонента швидкості не змінюється

20 (м/с),

а вертикальна компонента швидкості змінюється за законом (6)

(м/с),

що для = 1 с дає = 20,2 (м/с).

Модуль швидкості та її напрям знайдемо, скориставшись формулами (6) та (8):

= 28,4 (м/с),

tg = 1,

отже,

45°.

Знаючи кут, який утворює швидкість з горизонтом, модуль тангенціального прискорення знайдемо, як проекцію прискорення вільного падіння на вектор швидкості

= 6,9 (м/с²).

(Зауважимо, що тангенціальне прискорення може бути знайдено за формулою, яка відома з кінематики

,

що дає той самий результат.)

Тоді для нормального прискорення маємо

= 6,9 (м/с²).

Оскільки , то для радіуса кривизни траєкторії отримуємо

= 117 (м).

Відповідь: = 35 м, = 60,1 м, = 28,4 м/с,

= = 6,9 м/с², = 117 м.