Тема 2. Інтегрування диференціального рівнянь руху матеріальної точки, яка знаходиться під дією сталих сил

Розв’яжемо обернену задачу динаміки матеріальної точки в найпростішому випадку, коли сила є величиною сталою, (не залежить від , та ). (Ця задача дійсно має зміст, бо, наприклад, відповідає задачі про рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, якщо нехтувати опором повітря, а параметри траєкторії значно менші за радіус Землі – в таких умовах можна розглядати тіло як матеріальну точку, а поле тяжіння Землі - однорідним.)

Якщо ми у змозі обрати одну з декартових осей паралельно лінії дії сили, тоді проекції сили на дві інші осі залишаться рівними нулю. Скористаємось цією обставиною для розв’язку задачі про рух тіла кинутого під кутом до горизонту в однорідному полі тяжіння Землі, нехтуючи опором повітря. В цьому випадку на тіло діє лише одна сила тяжіння , тому диференціальне рівняння руху має вигляд

. (1)

Спрямуємо вісь вертикально вгору, а вісі та - лежать у горизонтальній площині.

У цьому випадку рівняння (1) може бути записано в вигляді

, (2)

де - прискорення вільного падіння.

Рівняння (2) необхідно доповнити початковими умовами - при = 0:

, (3)

. (4)

Шість величин , , та , , дозволять нам визначити сталі інтегрування диференціального рівняння (2).

Розглянемо - компоненту рівняння (2) і перепишемо його у вигляді

. (5)

Розділення змінних цього рівняння і відповідне інтегрування дозволяє отримати

.

З врахуванням початкових умов визначаємо , отже

. (6)

Оскільки , то з рівняння (6) отримуємо

.

Інтегруючи останній вираз, отримуємо

,

а сталу визначаємо з початкових умов . Отже отримуємо закон руху тіла вздовж осі

. (7)

Що стосується руху тіла вздовж осей та , то з урахуванням того, що:

, та ,

перше інтегрування цих рівнянь приведе до визначення сталих швидкостей:

, (8)

, (9)

а повторне інтегрування дає закони рівномірного руху вздовж цих осей:

, (10)

. (11)

Рівняння (10) та (11) дозволяють визначити траєкторію руху в горизонтальній площині . Якщо виключити час з системи цих рівнянь, то ми отримаємо рівняння прямої лінії у вигляді

(12)

Вздовж цієї прямої, яка лежить в горизонтальній площині, відбувається зміна горизонтальної координати, при цьому швидкість зміни координати буде сталою - доведіть це самостійно.

Таким чином, ми довели, що траєкторія руху тіла в однорідному полі тяжіння є плоскою. Тому, при розв’язку таких задач одну з осей системи відліку (наприклад, вісь ), напрямляють вздовж лінії дії сили, а іншу (наприклад, вісь ) – вздовж проекції початкової швидкості на площину, що перпендикулярна до сталої сили (дивись наступний приклад). Тоді у всіх отриманих формулах можемо покласти та і отримати наступні закон руху тіла у параметричній формі:

, (13)

. (14)

Date: 2015-08-15; view: 475; Нарушение авторских прав