Свойства производящих функций

Свойство 1. Производящая функция определена в области .

Свойство 2. Производящая функция

Свойство 3. Значение производящей функции в точке Z=1, P(1)=1. .

Свойство 4. Если Z=1, то MX=P’(1)

.

.

Свойство 5.

. Если Z=1 .

.

Следовательно, .

Свойство 6. Если Х₁,Х₂,…,Х_n—независимые целочисленные случайные величины, то производящая функция .

.

Пример 1. Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли, т.е. μ~B(n,p)—биномиальное распределение с параметрами (n,p). Найти производящую функцию случайной величины μ.

, где μ_k—число успехов в каждом испытании

Найдем производящую функцию случайной величины μ_k .

.

Пример 2. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром λ, т.е. . Найти производящую функцию случайной величины .

.

.

20. Распределение «xи квадрат»

Пусть X_i, —нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидании каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение (или дисперсия)—единице. Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону Х² с k=n степенями свободы. Если же эти величины Х_i связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n-1.

Плотность этого распределения , где —гамма-функция; в частности, Г(n+1)=n!

Отсюда видно, что распределение «x и квадрат» определяется одним параметром—числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.