Законы больших чисел

0. 1 Последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если для любого положительного числа , т.е.

при . Обозначается .

0. 2 Говорят, что последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… удовлетворяют закону больших чисел, если .

Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство Чебышёва:

Для . .

{x││x-MX│≥ε}

{x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε}

.

Таким образом,

.

Теорема 2. (закон больших чисел в форме Чебышёва).

Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, т.е. . Тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел.

Обозначим через . Нужно доказать, что .

.

Отсюда (т.к. ).