Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин)

Для того чтобы дискретные случайные величины Х₁,…,Х_n были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение .

Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х₁, Х₂,…,Х_n были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение

.

Здесь —совместимая плотность распределения случайных величин Х₁,…,Х_n, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х₁,…,Х_n

.

Предположим, что случайная величина . Вероятность, что

.

Пусть .

.

, где —функция Лапласа.

Замечание. Необходимо отметить, что φ(t)—четная функция, т.е.

φ(-х)=φ(х); функция Лапласа —нечетная, т.е. ; функция стандартного нормального распределения N(x) обладает свойством N(x)+N(-x)=1.