Формула свертки. Устойчивость нормального распределения

o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

.

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х—погрешность показаний измерительного прибора (распределена равномерно), то возникает задача—найти закон распределения суммы погрешностей .

Случай 1. Пусть Х и Y— дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y, заданы распределениями

и

Составить распределение случайной величины Z=X+Y.

Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения Х со всеми возможными значениями Х.

; ; ; .

Найдем вероятность этих возможных значений. Для того чтобы Z=4 достаточно, чтобы величина Х приняла значения х₁=1 и величина Y—значение y₁=3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равно 0,4 и 0,2.

Поскольку случайные величины Х и Y независимы, то события Х=1 и Y=3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е вероятность события Z=1+3=4) по теореме умножения равна 0,4·0,2=0,08.

Аналогично найдем

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместимых событий Z=z₂ и Z=z₃. (0,32+0,12=0,44)

Контроль: 0,08+0,44+0,48=1.

Рассмотрим общий случай:

Пусть Х и Y—независимые случайные величины, принимающие значения . Обозначим через , , .

Z=X+Н. Обозначим через

.

Таким образом, — формула свертки.

Случай 2. Пусть Х и Y—непрерывные случайные величины.

Теорема. Если Х и Y—независимые непрерывные случайные величины, то случайная величина Z=X+Y—также непрерывна, причем плотность распределения случайной величины Z —формула свертки.

o Плотность распределения суммы независимых случайных величин называется композицией.

Замечание. Если возможные значения X и Y неотрицательны, то формула свертки .

o Закон распределения вероятностей называется устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон распределения (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойствами устойчивости, т.е. композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение, причем математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых:

, .

В частности, если Х~N(0,1) и Y~N(0,1), то Z=X+Y~N(0,2).

Пример 2. Пусть случайная величины Х₁,…,Х_k—независимы и имеют показательное распределение с параметром λ>0, т.е. .

. Найти плотность распределения .

Если x>0

.

Если x≤0, то . Таким образом,

.

Далее при x>0

.

Если x≤0, то .

Проводя аналогичные рассуждения, получим:

.