Метод узловых и контурных уравнений

Данный метод является одним из самых простейших методов расчёта электрических цепей постоянного тока любой сложности. Основывается на составлении уравнений по I и II законам Кирхгофа.

Алгоритм расчёта:

1. Определяем число ветвей m, узлов и контуров в электрической цепи. Число токов в цепи равно числу ветвей. Для каждой ветви выбираем условное направление тока и укажем их на схеме.

2. По первому закону Кирхгофа составляем уравнение для узлов в количестве n-1, где n – число узлов.

3. На основании II закона Кирхгофа составляем m-n+1 уравнений, где m-число ветвей,n-число узлов. Для обхода выбираем контуры с меньшим числом ветвей и содержащих хотя бы одну новую ветвь. Контур обходим по часовой стрелке.

4. Полученные уравнения объединяем в систему и решаем любым способом, известным из математики.

Пример:

Дано: (рис. 14) Е₁=60 В; Е₂=48 В; Е₃=6 В; R₁=200 Ом; R₂=100 Ом; R₃=9,5 Ом; r₀₃=0,5 Ом; r₀₁=r₀₂ 0.

Найти: все токи.

Решение задачи

Рис. 14.

1. Сущность метода. Этот метод основан на применении первого и второго закона Кирхгофа, не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчёта любой цепи; в этом его преимущество.

Сколько же нужно составить уравнений для расчёта цепи? Очевидно, столько, сколько неизвестных величин, в нашем случае – токов. Поэтому начнём решение задачи с определения числа неизвестных токов.

2. Определение числа неизвестных токов и выбор их направлений. Как известно, в каждом неразветвлённом участке цепи (ветви) ток имеет одно и тоже значение от начала до конца участка. В рассматриваемой цепи к узловым точкам А и Б присоединены три ветви: БВГА с током I₁, БА с током I₂, БДЖА с током I₃

Итак, число различных токов равно числу ветвей электрической цепи.

Как определить направления токов?

Нам уже известно, что в сложной цепи до её расчёта узнать направления всех токов нельзя. Поэтому в начале направления токов выбирают произвольно (положительные направления токов) и при выбранных направлениях составляют уравнения. Затем решают эти уравнения и определяют истинные направления токов по их алгебраическим знакам, а именно: токи, действительные направления которых обратны выбранным, выражаются отрицательными числами.

Так, в нашем случае можно заранее сказать, что не все выбранные направления токов (рис. 14, сплошные стрелки) совпадают с действительными, так как не могут все токи притекать к узлу А. Очевидно, что один или два тока выразятся отрицательными числами.

Итак, токи в уравнениях Кирхгофа являются алгебраическими величинами, знаки которых зависят от направлений токов.

3. Составление уравнений по законам Кирхгофа. В нашей задаче – три неизвестных тока I₁, I₂, I₃, для определения которых составим три уравнения.

Начнём с уравнений по первому закону Кирхгофа как более простых. Для цепи с n узлами можно составить n-1 независимое уравнение; для одного (любого) узла цепи уравнение не следует составлять, так как оно было бы следствием предыдущих.

В цепи на рис. 14 два узла, поэтому составим одно уравнение по первому закону Кирхгофа, например для узла А:

Два недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа, выбрав для этого, например, контуры БАЖДБ и ВГЖДВ (чтобы уравнения были независимы, в каждый следующий контур должна входить одна новая ветвь, не входившая в предыдущий).

Приняв обход каждого контура по направлению движения часовой стрелки и учитывая правила знаков, получим:

;

.

4. Вычисление токов. Подставив в уравнения значения сопротивлений и ЭДС, получим:

или

или

Итак, вычисление токов сводится к решению системы трёх уравнений с тремя неизвестными. Для этого, например, определим ток I₂ из уравнения и подставим его значение в уравнение:

;

приведя подобные члены, получим:

.

Получились два уравнения с двумя неизвестными: I₁ и I₃.

Умножив второе уравнение на и сложив его с уравнением с первым, получим:

,

откуда

Подставив значение тока I₃ в уравнение, получим:

,

откуда

Ток I₂ определим из:

Ток I₁ и I₂ имеют положительные значения, а I₃ – отрицательное, следовательно, направления первых двух токов были выбраны правильно, а тока I₃ – неправильно.

Действительное направление тока I₃ указано пунктирной стрелкой на рис. 14. При этом сумма притекающих к узлу А токов I₁+I₂=0,24+0,36=0,6 А равна оттекающему току I₃=0,6 А.

*Дополнительные вопросы к задаче

1. Сколько электрических контуров имеют цепи, показанные на рис.14?

Электрическая цепь (рис.14) имеет три контура: ГАБВГ, ГЖДВГ и АЖДБА. Для составления двух уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо и достаточно выбрать два контура. Проще всего выбрать контуры, образующие отдельные ячейки, в нашем случае ГАБВГ и АЖДБА. Число ячеек всегда равно числу независимых уравнений, которые надо составить по второму закону Кирхгофа.

Для расчёта цепи на рис.14 при помощи законов Кирхгофа надо составить пять независимых уравнений (цепь состоит из пяти ветвей). Цепь имеет (А, Б, В), значит, по первому закону Кирхгофа можно составить два независимых уравнения. Недостающие три уравнения нужно составить по второму закону Кирхгофа.

В цепи по рис.14 можно наметить шесть контуров (АВКА, АБВКА, АБМКА, АБВА, АБМВА и БМВБ), но независимые уравнения получаются только для трёх контуров, например для трёх ячеек: АВКА, АБВА, и БМВБ, в каждую из которых входит новая ветвь.

Итак, разветвлённая цепь электрическая цепь имеет больше контуров, чем нужно и можно использовать для составления уравнений.

2. Как вести расчёт, если заданы значения токов, но неизвестны другие параметры цепи?

Очевидно, что из трёх независимых уравнений, составленных для цепи на рис.14, можно определить любые три неизвестные величины. например, при заданных значениях токов и сопротивлений можно определить ЭДС Е₁, Е₂ и Е₃, а по известным токам и ЭДС – величины трёх сопротивлений.

Итак, порядок расчёта цепи по методу уравнений Кирхгофа не зависит от того, какие величины заданы и какие неизвестны. Число неизвестных величин не должно быть больше числа независимых уравнений, которые можно составить по первому и второму закону Кирхгофа.

3. Следует ли принимать одинаковое направление обхода для всех контуров?

При составлении уравнений было выбрано одно и то же направление обхода этих контуров (по направлению движения часовой стрелки). Приняв для одного из них, например АЖДБА (рис. 14), противоположное направление обхода, получим:

Сравнивая уравнение (4.2) и (4.7), легко убедится, что они тождественны, так как различают только противоположными знаками всех членов уравнения.

Итак, для каждого контура направление обхода может быть выбрано произвольно.

4. Целесообразно ли предыдущую задачу решать методом уравнений Кирхгофа?

Электрическая цепь по рис. 15 имеет пять неизвестных токов, и для их вычисления потребовалась бы пять уравнений (два по первому и три по второму закону Кирхгофа).

Решение системы из пяти не проще, чем вычисление токов в двух простых цепях по методу наложения.

Рис. 15.

Пример 2:

В схеме (рис. 15) трехпроводной линии постоянного тока ЭДС источников Е₁ = 253в и Е₂ = 225в, их внутренние сопротивление r₀₁ = r₀₂ = 0,5 ом, сопротивления главных проводов r₁ = r₂ = 0,5 ом и нейтрального провода r₀ = 1 ом, сопротивления пассивных приемников энергии r₃ = 40 ом, r₄ = 20 ом и r₅ = 40 ом.

Определить токи, применив законы Кирхгофа.

Решение.

В схеме имеются шесть ветвей и, следовательно, число неизвестных токов равно шести. Число узлов равно четырем.

Намечаем на схеме предполагаемые направления токов в ветвях. После этого составляем, основываясь на первый закон Кирхгофа, три независимых уравнения:

для узла А

;

для узла В

;

для узла С

;

Недостающее уравнение для трех замкнутых контуров I, II и III составляем на основании второго закона Кирхгофа. Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Для контура I

;

для контура II

;

для контура III

.

Решение системы уравнений с шестью неизвестными дает: I ₃ = 6 a, I ₅ = 11 a, I ₄ = 10 a, I ₂ = 21 a, I ₁ = 17 a и I ₀ = 4 a.

Найденные токи проверим, подставив их значения в уравнения, составленные на основании первого закона Кирхгофа: