Күрделі функцияның диффер–уы туралы теорема

f(x)≡f(,…, ) сандық функ-сы Е⊂ ашық жиынында анықталып, T⊂ ашық жиынында ан-ған (t)≡ (,…, ),…, (t)≡ (,…, ) функциялары үшін келесі шарт орындалсын: әрбір t T үшін ( (t),…, (t)) E. Онда T t f( (t),…, (t)) ≡ (t) сәйкестігі T жиынында анықталған ψ күрделі функциясын анықтайды.

Теорема. f(x)=f(,…, ) сандық функциясы Е⊂ ашық ж-да ан-п, T⊂ ашық жиынында анықталған (t),…, (t) сандық функциялары үшін t T болған сайын ( (t),…, (t)) E болсын. Егер b≡(,…, ) T нүктесінде (j=1,…,m) айнымалысы бойынша (b),…, (b) дербес туындылары бар болып, ал a≡( (b),…, (b)) E нүктесінде f функциясы дифференциалданса, онда (t)= f( (t),…, (t)) күрделі функциясының t=b нүктесінде айнымалысы бойынша дербес туындысы бар болып,

(b)= (a) (b)+…+ (a) (b) (9)теңдігі орындалады.

Дәлелделуі. теореманы әуелі n=3, m=2,j=1 жағдайында дәлелдейік.Сонымен,ψ(, )≡f( (, ), (, ), (, )) функциясы үшін

(, )≡ (10)

Нақты мәнді шегі бар екендігін көрсетіп, мәнін табуымыз керек. f функциясы a=(, , ) ( = (, )(i=1,2,3))

f=(, , )-f (, , )= (a)( - ) + (a)( - )+

(a)( - )+ (x)( - )+ (x)( - )+ (x)( - ), (11)

(x)=0(i=1,2,3) (12)

Теңдіктері орындалатын (x)(i=1,2,3) ф-ры табылады.

Тағы да теорема шарты бойынша:

= (, ) (13)

Сол себептен = (; i=1,2,3), демек, (12) бойынша

()≡ (, , ) (. (14)

Сондықтан, = (i=1,2,3) екенін ескере отырып, ≡ үшін (11),(13),(14) бойынша

= [ , , )-f(, , )]

[ (a)+ ()] + (a)+ ()] + (a)+ ()] (a) (b)+ (a) (b)+ (a) (b), (),яғни,(10) бойынша қарастырылып отырылған жағдайда (9) теңдігі дәлелденді.

Жалпы жағдайда дәл осы жолмен f(,…, )-f(,…, )= (a)( - )+…+ (a)( - )+ (x)( - )+… (x)( - ) теңдігінде ≡ ≡ ), () ≡ () деп алып және = екенін ескере отырып,

≡ = [ f(,…, )]= ] өрнегінде 0 шекке көшіп, дәлелдеу керек болатын (9) теңдігіне келеміз.Теорема дәлелденді.