Дифф-тын функция мен дербес туынды арасындағы байланыс туралы теорема

Теорема. f сандықфункциясы E ашық жиынында анықталып, а нүктесінің белгілі бір маңайының барлық х (a)⊂E нүктелерінде әрбір i=1,2,…,n үшін (x) дербес туындылары бар болып, олар а нүктесінде үзіліссіз болса, яғни (i=1,2,…,n) теңдіктері орындалса, онда f функциясы a нүктесінде дифф-ды.

Дәлелдеуі. Әуелі екі айнымалы жағдайын қарастырайық. Сонымен, функция дифф-ның анықтамасы бойынша f( айырымын (6) түріндегідей бейнелеу мүмкін екенін көрсету керек. Ол үшін | | < (i=1,2) болады деп ұйғарып, мынадай түрлендіру жасайық:

f( = + . (1)

Егер (t) f(t, ) болса, онда (t) бір айнымалылы функциясы сегментінде анықталып, сол сегменттің әрбір t нүктесінде (t, ) туындысы бар. Демек, Лагранж формуласы бойынша белгілі бір 0 < <1 саны үшін f( болады.

Дәл солай, сондықтан, (1) бойынша . (2)

енді функцияларын

(

( (3)

Деп анықтасақ, онда дербес туындылары нүктесінде үзіліссіз болғандықтан,

болады, өйткені 0< теңсіздіктерінен 0) болатыны шығады. (3) бойынша (2) былай жазылады: + , ал бұл (4) мен қоса f функциясының () нүктесінде дифф-ның дәл өзі болады. Екі айнымалы жағдайында теорема д-ді.

Салдар. Егер f функциясы E⊂ ашық жиынында үзіліссіз дифф-са, онда ол Е жиынының әр нүктесінде дифф-ды.

Дәлелдеуі. а Е болсын, Е ашық жиын болғандықтан, белгілі бір оң саны үшін (a) ⊂Е кірістіруі орындалып, а ның (a) маңайында теореманың барлық шарттары орындалады,демек, f функциясы а нүктесінде дифф-ды. А нүктесінде Еде жатуынан өзге шарт қойылмағандықтан, а нүктесі Е-нің кез келген нүктесі болды, f функциясы Е жиынында дифф-ды. Салдар дәлелденді.

Қорытынды. 1. Егер f(x)=f( Нүктесінде дифференциалданса, онда сол нүктеде барлық мүмкін болады.

2. a нүктесінде барлық мүмкін дербес туындылары бар болса да, f() функциясы сол нүктеде диф-бауы мүмкін; бірақ а-ның белгілі бір маңайында дербес туындылары бар болып,осы ф-дың бәрі де а нүктесінде үзіліссіз болса, онда f функциясы а нүктесінде міндетте түрде диф-ды.