Жоғарғы ретті дербес туындылар. - жиыны

f(x₁,x₂,…,x_n) сандық функциясы EcRⁿ ашық жиынында анықталып x₁,x₂,…,x_n айнымалыларының бірі бойынша (x) дербес туындысы бар болса, онда сол дербес туындының өзі :E ̶>R¹ түріндегі функция болып, белгілі бір x_j айнымалысы бойынша аєЕ нүктесінде (a) x_i және x_j айнымалылары бойынша алынған 2 ретті дербес туындысы деп аталады. Мұнда i және j индекстерінің жазылу реті дербес туынды әуелі x_i бойынша, содан соң x_j бойынша алынғанын көрсетеді.

Әрине, дербес туынды алу амалын жалғастырып қолдана беруге болады: к ретті (x) (1)

Сонымен, жоғарғы ретті дербес туындылар индуктивті әдіспен анықталады. (1) белгілеуінде k индексі дербес туынды неше рет алынғанын көрсетсе, i₁,…,i_k индекстері әуелі , содан соң бірте-бірте … айнымалылары бойнша дербес туынды алынатынын көрсетеді.

Егер (1) дегі i₁,…,i_k индекстерінің арасында кемінде екеуі өзара тең болмаса, онда (1) дербес туындысын аралас туынды деп атайды.

1-теорема. f сандық функциясы EcRⁿ ашық жиынында анықталып, әрбір хєЕ нүктесінде (x)= (x) аралас туындылары бар болсын. Егер осы екі функция аєЕ нүктесінде үзіліссіз болса, онда сол нүктеде олардың мәндері де өзара тең болады.

2-теорема. Егер fєC^(m)(E) болса, онда әрбір хєЕ үшін дербес туындысының мәні i₁,…,i_m индекстері беретін дифференциалдау кезегіне тәуелсіз, яғни i₁,…,i_m дифференциалдау кезегін қалай өзгертсек те, дербес туындының мәні өзгермейді. Басқаша айтқанда 1,...,m сандары өзара орын алмастырып, ϭ(1),...,ϭ(m) ретінде жазылған болсы.Бұны ϭ-алмастыру деп атайды. Мысалы: m=3 үшін 1,2,3 сандарының 3,1,2 ретінде жазылуын ϭ-алмастыруы деп атаймыз.Сонымен, теореманың мағынасы мынада: 1,...,m жиынының әрбір ϭ-алмастыруы үшін

= (х) (2)

Дәлелдеу.Математикалық индукция әдісін m бойынша жүргіземіз. m=2 болғанда бұл (1) теореманың дәл өзі: (x)= (x) (3)

ал енді теорема m үшін дәлелденді делік. fєC^(m+1)(E) болып, i₁,i₂,…,i_m,i_m+1 интекстерімен 1,2,...,m,m+1 жиынының ϭ-алмастыруы берілсін. Индукция әдісінің талабына сай теореманы дәлелдеу үшін

А≡ = (x) (4)

Теңдігін дәлелдесе жеткілікті.

Егер r = (m+1) > 1 болса, онда φ = функциясы үзіліссіз болып, m+2-r ≤ m болғандықтан, (2) бойынша ∂ мен ∂ = ∂ –дің орындарын алмастыру заңды:

А= =

Енді бұл жағдайда 1,…,r-1,r+1,…,m+1 және (1),…, (m)

Сандары алмастыруы бойынша өзара бірмәнді сәкестікте екенін ескере отырып, квадрат жақшаның ішіндегі өрнекке (2) теңдігін қолданып,(4) теңдігіне келеміз.

Егер 1= (m+1) болса,онда 2,...,m+1 және ,..., (m) сандары алмастыруы бойынша өзара бірмәнді сәйкестікте болады, демек, (2) теңдігін φ ≡ = үзіліссіз функциясына қолданып,

А= = теңдігіне келеміз 2 және 3 теңдіктері бойынша

А= = = ,

Яғни (4) бұл жағдайда да орындалады.Теорема толық дәлелденді.

Date: 2015-07-24; view: 1666; Нарушение авторских прав