Показательная форма комплексного числа

Функция для любого действительного определяется формулой Эйлера: В частности, . Отметим, что для любого .

Показательная форма комплексного числа есть запись вида = , где

Примеры: Если , то в показательной форме

Представим в алгебраической форме число :

Для любого комплексного числа = значение определяется равенством

, (4.1)

где . Значения и определяются равенствами

(4.2)

Имеем,

, для всех . (4.3)

Формулы (4.1) - (4.3) называются формулами Эйлера.

Показательная форма комплексного числа удобна при умножении, делении и, самое главное, возведении в степень комплексных чисел. Пусть , тогда (см. п.3 Выводы):

Последнее равенство – формула Муавра для комплексных чисел в показательной форме.

Пример. Вычислим . Сначала перейдем к показательной форме комплексных чисел: и воспользуемся формулой возведения в степень

. Теперь воспользуемся формулой умножения чисел в показательной форме. Получим

.

Пример.. Решим уравнение , используя показательную форму комплексных чисел. Уравнение принимает вид

.

Отметим, что два числа, записанные в показательной форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное . Отсюда , т.е. или . В последнем случае . Видно, что нуль является решением нашего уравнения. При рассмотрим уравнение для аргументов . Получаем . Различные решения получаем только при Это числа . Окончательные ответ: 0, .

5. Извлечение корней из комплексных чисел

Пусть . Число называется корнем - ой степени из числа , если (обозначение ). Поскольку уравнение не имеет других решений, кроме , то . Пусть . В этом случае представим в тригонометрической форме:

.

Воспользовавшись формулами Муавра, перепишем заданное равенство в виде

.

Так как для ненулевого комплексного числа модуль определен однозначно, а аргумент с точностью до , где , то а . Получаем

(для вычисления используется арифметическое значение корня ). Итак, для произвольного каждое из чисел

(5.1)

является значением корня n -ой степени из числа .

Выясним, есть ли среди чисел (5.1) совпадающие. Разделим произвольное на n с остатком, т.е. представим k в виде

(напомним, что в данном случае p называется частным, а q – остатком, ). Подставляя это выражение для k в (5.1), получаем:

С другой стороны, при значениях k = 0,1, …, n -1 все числа в (5.1) различны: их аргументы отличаются на числа кратные .

Подводя итог, получаем, что произвольное ненулевое комплексное число

имеет n различных корней, которые можно получить по формуле

(5.2)

В показательной форме

(5.2’)

Заметим, что знак радикала в равенстве (5.2) имеет разный смысл: в правой части он означает арифметическое значение корня из положительного (действительного) числа, в левой – множество всевозможных значений корня из комплексного числа.

Из (5.2) легко видеть, что на комплексной плоскости все значения корня находятся на одинаковом расстоянии от точки 0, кроме того, угол с вершиной в 0 между направлениями на соседние значения корня постоянен и равен . Таким образом, точки комплексной плоскости, соответствующие всем значениям корня степени из одного и того же числа, находятся в вершинах правильного n -угольника. Это наблюдение позволяет по одному найденному корню уравнения отыскать все остальные.

Примеры: 1) Найти . Проведем решение для показательной формы заданного числа. Очевидно, , т.о. . По формуле (5.2’) имеем . Итак, имеет следующие значения:

.

Зная одно из значений корня, остальные иногда, как в данном случае, проще найти геометрически. Легко проверить, что число 2 является одним из значений корня. Вписываем правильный четырехугольник, т.е. квадрат, одной из вершин которого является точка , в окружность радиуса 2 с центром в нуле. Ясно, что остальными вершинами квадрата являются точки .

2) Найти . Поскольку , то . И значения корня есть числа

3) Найти .

Последовательно получаем

. Заметим, что, как и в вещественном случае, второе значение квадратного корня всегда можно получить из первого умножением на -1.

Справедливо следующее свойство: для ненулевых комплексных чисел и множество всех значений корня можно получить умножая произвольное значение корня на все значения .