Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Комплексные числа: определение, операции сложения и умножения





Кафедра высшей математики

 

 

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

Н.А.Фаркова

 

 

Комплексные числа

 

 

 

 

УДК 517.53

 

 

Комплексные числа. Методическая разработка по курсу “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” для студентов .

 

Составитель Н.А.Фаркова. – доцент кафедры высшая математика-2 .

 

 

Методическая разработка предназначена для студентов 1-го курса, изучающих курс линейной алгебры и аналитической геометрии и содержит необходимый теоретический материал, упражнения и задания для самостоятельной работы студентов.

 

Составитель: Н.А.Фаркова, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики

 

Комплексные числа: определение, операции сложения и умножения

 

Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары действительных чисел, для которых определены операции сложения и умножения следующим образом:

(1.1)

, (1.2)

где - произвольные действительные числа.

 
 

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда

Множество всех комплексных чисел обозначается C.

Понятия “ больше” и “меньше ” для комплексных чисел не вводятся.

Действительные числа называются действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются символами Re z и Im z соответственно. Комплексные числа с нулевой мнимой частью

( ) - это действительные числа. Комплексные числа, не являющиеся действительными, получили название мнимых, а те их них, у которых действительная часть равна нулю - чисто мнимых.

Для чисел и согласно формулам (1.1) и (1.2) имеем

,

Легко проверить, что операции сложения и умножения комплексных

чисел обладают следующими свойствами:

a) коммутативности

b) ассоциативность

c) дистрибутивность

Нулем называется такое комплексное число , что для произвольного числа (a ,b) выполняется равенство . Из определения получаем, что . Следовательно, нулем является пара (0,0).



Числом, противоположным к (a ,b) называется такая пара , что . Противоположное число обозначается -(a ,b). Нетрудно видеть, что

-(a ,b) = (-a, -b). Разностью (или числом, полученным в результате вычитания) комплексных чисел (c,d) и (a,b) называется решение уравнения . Разность обозначается (c,d)-(a ,b) и, очевидно, равна (c-a, d-b). Легко видеть, что разность (c,d) - (a ,b) есть сумма (c,d) и числа, противоположного к (a ,b), т.е. (c,d)- (a ,b) = (c,d) +

[- (a ,b)].

Единицей называется такое комплексное число , что для произвольного числа (a ,b) выполняется равенство . Из определения произведения получаем

В случае если , т.е. (a ,b) , имеем единственное решение предыдущей системы: Таким образом, для любого в том числе и для Следовательно, (1,0) – единица. Числом, обратным к называется такая пара , что = (1,0). Обратное число обозначается . В случае, когда

(a ,b) , система

имеет единственное решение

, (1.3)

 

а в случае - неразрешима.

Частным (или числом, полученным в результате деления) комплексных чисел (c,d) и (a,b) называется решение уравнения . Частное обозначается (c,d)/(a,b). Его можно получить из системы

. (1.4)

В случае имеем:

(1.5)

если же =0, то результат деления, как легко видеть из (1.4), не определен. Сравнивая (1.3) и (1.5), получаем, что частное (c,d)/(a,b) есть произведение (c,d) на величину, обратную к (a,b):

(c,d)/(a,b)= .

Обозначим через i и будем называть мнимой единицей число (0,1). Для i = (0,1) имеем i2 =i i = (0 0-1 1,0 1+1 0) = (-1,0) = -1, т.е.

i2 = -1 (1.6).

Заметим также, что

т.е. число представимо в виде . Указанный вид называется алгебраической формой комплексного числа . Ее использование освобождает нас от заучивания правил арифметических операций (1.1) и (1.2): в силу (1.6) работать с комплексными числами можно как с алгебраическими двучленами, зависящими от символа i, с заменой, где необходимо, i2 на -1. Например, для нахождения произведения раскроем скобки и получим , так как i2 = -1 , то = . Для нахождения частного умножим числитель и знаменатель дроби на число :

Упражнение. Проверьте, что

.








Date: 2015-07-02; view: 451; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию