Комплексные числа. Действия над ними

Введение

Методические указания содержат материалы для практических занятий по действиям с комплексными числами и операционному исчислению. Введение комплексных чисел связано с решением уравнений вида х ² + 1 = 0. В множестве R не существует решений данного уравнения, однако в множестве комплексных чисел – С решение существует. Множество С содержит элемент, квадрат которого равен (-1). Так как этот элемент не может быть действительным, то его обозначают через i, т. е. i ² = - 1.

Комплексные числа находят широкое применение в задачах физики, геометрии, электротехники. Операционное исчисление изобретено английским ученым О. Хевисойдом, предназначено для решения, дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами как однородных так и неоднородных. Многие прикладные задачи описываются такими уравнениями. В частности, методы операционного исчисления позволяют с большим успехом рассчитывать любые процессы в сложных электрических цепях при произвольном внешнем напряжении

Методические указания предназначены для студентов 3 факультета, а также для преподавателей.

Комплексные числа. Действия над ними

Комплексное число z - это число вида z = x + iy (алгебраическая форма комплексного числа), где х, у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются х = Re z, y = Im z. Число называется сопряженным к числу .

Комплексное число z = x + iy изображается в плоскости ХОУ точкой М с координатами (х, у) или вектором с координатами (х, у), (рис. 1.1)

Длина r вектора z называется модулем числа z и обозначается . Угол j между положительным направлением оси ОХ и вектором z называет аргументом комплексного числа и обозначается Arg z; он определяется с точностью до слагаемого, кратного . Значение arg z аргумента z, удовлетворяющее условию или называется главным. Имеем

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа имеют вид .

Связь между алгебраической и тригонометрической формами устанавливается при помощи формул .

Действия на комплексными числами осуществляются по следующим правилам

а) числа заданы в алгебраической форме:

б) числа заданы в тригонометрической форме:

Задача 1.

Задана комплексные числа: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Представить z ₁, z ₂, z ₃ в тригонометрической, а z ₄, z ₅, z ₆ – в показательной форме и изобразить точками на комплексной площади.

Решение:

а) имеем (см. рис. 1.2) r = 1; j = p, (1.1)
б) имеем (см. рис. 1.2) r = 2; , ;

в) имеем ; согласно рис. 1.2 точка z ₃ принадлежит первому квадранту, поэтому , так что (1.2);

рис. 1.2

г) имеем согласно рис. 1.2, точка z ₄ принадлежит второму квадранту, поэтому так что ;

д) имеет , , согласно рис. 1.2, точка z ₅ принадлежит третьему квадранту, поэтому , так что (1.3);

е) имеем , согласно рис. 1.2, точка z ₆ принадлежит четвертому квадранту, поэтому .

Задача 2.

Найти все значения корней: а) ; б) ; в) .

Решение:

а) имеем согласно (1.2)

б) имеем согласно (1.1)

в) Имеем согласно (1.3)

Задача 3.

Представить в алгебраической форме

Решение:

Пусть Имеем ; точка принадлежит четвертому квадранту, поэтому