Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






ГЛАВА 7. Подобные треугольники





Подобные треугольники

 

§ 1. Определение подобных треугольников.

56.

 

Определение. Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин.

 

Определение. Отрезки АВ и CD называются пропорциональными отрезкам A B и C D , если .

 

57.

 

Определение. Если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то сходственными сторонами называются стороны этих треугольников, лежащие против соответственно равных углов.

 

n Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

 

Определение. Коэффициентом подобия называется число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

 

58.

 

n Теорема (об отношении площадей подобных треугольников). Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

Теорема (Свойство биссектрисы треугольника (N 535)). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

 

 

§ 2. Признаки подобия треугольников.

59.

 

Теорема (1 признак подобия треугольников). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

60.

 

n Теорема (2 признак подобия треугольников). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

61.

 

Теорема (3 признак подобия треугольников). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

Теорема (Фалеса, расширенная (N 556)). Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной его стороне, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на другой его стороне.

 

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

62.

 

 Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

 

Теорема (Свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

 

Теорема (Свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

 

63.

 

Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

 

Определение. Средним пропорциональным между отрезками AB и CD (или средним геометрическим) называется отрезок XY, если .

 

Замечание 1 (свойство высоты прямоугольного треугольника). Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.

 

Замечание 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

 

§ 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

66.

 

 Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

 

 Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

 

 Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

 

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

 

Замечание 1. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу.

 

Замечание 2. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны соответственно.

 

 Теорема (основное тригонометрическое тождество). .

 

ГЛАВА 8

 

Окружность

 

§ 1. Касательная к окружности.

68.

 

*Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, то прямая и окружность имеют ровно 2 общие точки.

 

*Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиуса, то прямая и окружность имеют ровно 1 общую точку.

 

*Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше ее радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек.

 

Определение. Секущей по отношению к окружности называется прямая, которая имеет с ней 2 общие точки.

 

69.

 

*Определение. Касательной к окружности называется прямая, имеющая с ней только одну общую точку.

 

n Теорема (Ссвойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

 

Теорема. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к одной окружности, равны.

 

Теорема. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к одной окружности, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

 

*Теорема (Признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она – касательная.

 

§ 2. Центральные и вписанные углы.

70.

 

Определение. Дугой окружности называется каждая из двух частей, на которые две точки разделяют окружность.

 

Определение. Полуокружностью называется дуга, концы которой соединяет диаметр этой окружности.

 

*Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре окружности (а стороны ее пересекают).

 

Определение. Градусная мера дуги, которая меньше полуокружности (или равна), считается равной градусной мере центрального угла, стороны которого проходят через ее концы.

 

Определение. Градусная мера дуги, которая больше полуокружности, считается равной 360° без градусной меры центрального угла, стороны которого проходят через ее концы.

 

n Замечание. Сумма градусных мер двух дуг окружностей с общими концами равна 360°.

 

71.

Определение. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

 

 

Определение. Вписанный в окружность угол называется опирающимся на ее дугу, если дуга расположена внутри него, а ее концы лежат на его сторонах.

 

n Теорема (свойство вписанного угла). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

 

n Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.

 

n Теорема (о двух пересекающихся хордах). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Теорема (N 659). Градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны.

 

Теорема (об угле между касательной и секущей(N 664)). Угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между ними.

 

Теорема (N 668). Перпендикуляр, проведенный из любой точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые он делит диаметр.

 

Теорема (о длине касательной и секущей(N 670)). Если АВ - касательная (где В – точка касания), а АP секущая (причем P и Q точки пересечения ее с той же окружностью), то .

 

§ 3. Четыре замечательные точки треугольника.

72.

 

n Теорема (Свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

 

Теорема (обратная к свойству биссектрисы угла). Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

 

n Следствие (Свойство биссектрис треугольника). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

 

Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через его середину и перпендикулярная к нему.

 

Теорема (Свойство серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

 

*Теорема (обратная к свойству серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

 

* n Следствие (Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

 

73.

 

n Теорема (Свойство высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Определение. Замечательными точками треугольника называются 4 точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).

 

§ 4. Вписанная и описанная окружности.

74.

 

Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все его стороны касаются этой окружности.

 

Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

 

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

 

Замечание. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

 

Теорема (свойство описанного четырехугольника). В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

 

Теорема (признак описанного четырехугольника). Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

 

75.

 

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

 

Определение. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

 

Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

 

Замечание. Около четырехугольника не всегда можно вписать окружность.

 

Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

 

Теорема (признак описанного четырехугольника). Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность.

 

Теорема (признак ромба (N 696)). Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это - ромб.

 

Теорема (свойство ромба (N 700)). В любой ромб можно вписать окружность.

 

Теорема (N 697). Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на высоту.

 

Теорема (признак прямоугольника (N 709)). Если около параллелограмма можно описать окружность, то это - прямоугольник.

 

Теорема (признак равнобедренной трапеции(N 710)). Если около трапеции можно описать окружность, то она - равнобедренная.

 

Date: 2015-07-02; view: 1653; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию