Глава 6

Площадь

§ 1. Площадь многоугольника.

48.

○ Не определение! Площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

○ Замечание 0. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1 квадратной единице.

n Замечание 1. Равные многоугольники имеют равные площади.

● Замечание 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме их площадей.

n Замечание 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

50.

n Теорема (площадь прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.

51.

○ Определение. Основанием параллелограмма называется одна из его сторон.

○ Определение. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный к прямой, содержащей основание, из любой точки противоположной стороны.

n Теорема (площадь параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

52.

○ Определение. Основанием треугольника называется одна из его сторон.

● Теорема (площадь треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к нему.

n Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

n Следствие 2. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

● Теорема (об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

53.

○ Определение. Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

n Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

§ 3. Теорема Пифагора.

54.

n Теорема (Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

55.

n Теорема (обратная теореме Пифагора). Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

○ Определение. Пифагоровыми треугольниками называются прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами.