ГЕОМЕТРИЯ 7-9

*****

ГЕОМЕТРИЯ 7

ГЛАВА 1

Начальные сведения.

§ 1. Прямая и отрезок.

1.

■ Аксиома. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

○ Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

 Замечание. Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной.

○ Определение. Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.

○ Определение. Концами отрезка называются точки, его ограничивающие.

§ 2. Луч и угол.

3.

○ Определение. Лучом, исходящим из точки О, называется каждая из двух частей, на которые точка О разделяет прямую.

○ Определение. Началом луча называется точка, из которой он исходит.

4.

 Определение. Углом называется геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из нее.

 Определение. Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

 Замечание. Любой угол разделяет плоскость на две части.

○ Замечание. Луч делит угол на два угла, если он исходит из его вершины и проходит внутри угла.

§ 3. Сравнение отрезков и углов.

5.

 Определение. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

6.

○ Определение. Серединой отрезка называется точка, делящая его пополам.

○ Определение. Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

§ 4. Измерение отрезков.

7.

○ Замечание 1. За единицу измерения длины можно принять любой отрезок.

○ Замечание 2. Длина выражается некоторым положительным числом.

 Замечание 3. Равные отрезки имеют равные длины.

 Замечание 4. Меньший отрезок имеет меньшую длину.

○ Замечание 5. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

○ Определение. Расстоянием между концами отрезка называется длина этого отрезка.

§ 5. Измерение углов.

9.

○ Определение. Градусом называется угол, равный 1/180 части развернутого угла.

○ Определение. Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

○ Замечание 1. За единицу измерения градусной меры принят градус.

○ Замечание 2. Градусная мера выражается некоторым положительным числом.

 Замечание 3. Равные углы имеют равные градусные меры.

 Замечание 4. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

○ Замечание 5. Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов.

 Замечание 1. Развернутый угол равен 180°.

 Замечание 2. Неразвернутый угол меньше 180°.

 Определение. Угол называется прямым, если он равен 90°.

○ Определение. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°.

○ Определение. Угол называется острым, если он меньше 90°.

§ 6. Перпендикулярные прямые.

11.

○ Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга.

 Теорема (свойство смежных углов). Сумма смежных углов равна 180°.

 Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

 Теорема(свойство вертикальных углов). Вертикальные углы равны.

12.

○ Определение. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

* ○ Теорема. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они не пересекаются.