КоэффициентыАiиBj, зависящие от интенсивностей переходов, определяются из графа состояний по следующим правилам

Коэффициент при s^n-1 всегда равен единице, т. е. А₀ = 1. Коэффициент А₁ равен сумме всех интенсивностей переходов в графе состояний. Коэффициент А₂ равен сумме всех попарных произведений интенсивностей переходов, за исключением членов вида а_i,j · а_i,j а_j,i и а_i,j а_i,k. Интенсивности переходов а_i,j и а_j,i находятся в ветвях, образующих контуры, а интенсивности а_i,j и а_i,k — в ветвях, исходящих из i -го узла. Коэффициент А_i (i = 3, 4,..., n -1) равен сумме произведений интенсивностей переходов, взятых по i, за ис­ключением тех произведений, в которые входят одновременно интенсивности переходов ветвей, образующих контуры и исходящих из одного и того же узла. Такие члены легко определить по графу состояний.

Следует иметь в виду, что главный определитель системы Δ(s) не зависит от начальных условий, а поэтому сформулированное правило определения коэ ффициентов А_i полинома знаменателя справедливо при любых начальных условиях решения задачи.

Коэффициенты полинома числителя В _ij (j =0,1,..., т) находятся из выражений для коэффициентов А_i полинома знаменателя при соответствующих степенях s. Коэффициент В _ij при s^{т - j} равен сумме только тех слагаемых коэффициента А_i при s той же степени, у которых:

-содержатся произведения всех интенсивностей переходов из начального состояния системы, определенного начальными условиями решения задачи, в состояние i по кратчайшему пути;

- отсутствуют интенсивности переходов из i -го состояния.

ПРИМЕР 5.18. Необходимо определить вероятности всех состояний системы (рис. 5.23). Систему обслуживают две бригады. Предполагается также, что начальными условиями функционирования системы являются: Р₀(0) = 1, Р₁(0) = Р₂(0) = Р₃(0) = 0.

Решение. Граф состояний системы изображен на рис. 5.24.

Определим сначала полином знаменателя вероятностей Р_i(s) (i = 0,1,2,3), т. к. он является общим и не зависит от i.

Из графа рис. 5.24 видно, что система может находиться в четырех состоянияx, поэтому п = 4. Тогда

На основании сформулированного выше правила находим коэффициенты полинома.

Коэффициент А₀=1. Коэффициент А₁ равен сумме всех интенсивностей переходов, указанных на рис. 5.24, поэтому А₁ = 5λ + 4μ.

В выражении для коэффициента А₂ будут отсутствовать члены а₀₂а₂₀, а₀₁а₁₀, а₁₃а₃₁, т.к. они являются произведениями интенсивностей, находящихся в ветвях, образующих контуры. Не будет также членов вида а₀₂а₀₁, а₁₀а₁₃, являющихся произведениями интенсивностей переходов из одного и того же узла (0 или 1). Тогда

В выражении для коэффициента А₃ будут отсутствовать слагаемые вида а₀₂а₂₀, а₀₁а₁₀, а₁₃а₃₁, а₀₂а₀₁, а₁₀а₁₃, …. Перебор всех возможных комбинаций интенсивностей переходов по три показывает, что коэффициент А₃ имеет лишь четыре слагаемых:

Найдем теперь полиномы Δ_i. Степень полинома Δ₀ будет: m₀ =п-1-l₍₎ = 4-1-0 = 3.

Тогда Δ₀ (s) = В₀₀ s³ + В₁₀ s ²+В₂₀ s + В₃₀. Так как степень полинома Δ₀ (s) совпадает со степенью полинома Δ (s)/ s, то коэффициент В₀₀ определяется из коэффициента А₀, В₁₀ — из А₁, В₂₀ — из А₂, В₃₀ — A₃. На основании сформулированного выше правила коэффициенты В_j0 не должны содержать слагаемых, в которые входят в качестве сомножителей интенсивности переходов из состояния 0, т. е. интенсивности а₀₁ и а ₀₂. Исключая эти слагаемые из выражений для А_i, получим:

Подставляя значения коэффициентов в выражение для определителей, получим:

Степень полинома Δ₁ будет т₁ =п-1-l₁ = 4-1-1 = 2, т.е. Δ₁ = В₀₁ s² + В₁₁ s + В₂₁. Тогда коэффициент В₀₁ определяется из коэффициента А₁, В₁₁ – из А₂, В₂₁ – из А₃.

Коэффициенты В_j1 не должны содержать слагаемых, в которые входят в качестве сомножителей интенсивности переходов из состояния (1), т.е. интенсивности а ₁₀. а ₁₃. Коэффициенты В_j1 должны содержать только те слагаемые, соответствующие А_i, которые содержат в качестве сомножителя произведения интенсивностей перехода из начального состояния (0) в состояние (1), т.е. интенсивность а ₀₁. Исключая указанные слагаемые из выражений для А_i, получим:

Тогда

Степень полинома Δ ₂(s) будет m₂ = п-1-l₂ =4-1-1 = 2, т. е. Δ₂=В₀₂s² + В₁₂s + В₂₂. В данном случае коэффициенты В_j2 не должны содержать слагаемых, в которые входит интенсивность перехода из состояния (2), т. е. интенсивность а₂₀, кроме того, В_j2 должны содержать только те слагаемые коэффициентов А_i, которые содержат в качестве сомножителя интенсивность а₀₂. Исключая из А_i указанные слагаемые, получим:

Тогда

Степень полинома Δ₃ (s) будет т₃ =п-1-l₃ = 4-1-2 = 1, т.е. Δ₃ (s) = В_0З s + В_1З. Коэффициенты В_0З и В₁₃ не должны содержать слагаемых, в которые входит интенсивность перехода из состояния (3) в состояние (1), т.е. интенсивность а₃₁, кроме того, они должны иметь только те слагаемые коэффициентов А_i, которые содержат в качестве сомножителя произведения интенсивностей перехода из состояния (0) в состояние (3), по кратчайшему пути, т. е. произведение а₀₁а₁₃.

Исключая указанные слагаемые из А_i, получим:

Тогда

ПРИМЕР 5.19. Необходимо определить вероятности всех состояний системы (рис. 5.23). Предполагается, что начальными условиями функционирования системы являются:

Отличие примера 5.19 от примера 5.18 состоит в том, что здесь изучаются закономерности функционирования системы с момента, когда отказал один из резервных элементов, т. е. с момента, когда система находится в состоянии 1.

Решение. Так как главный определитель системы не зависит от начальных условий, то полином знаменателя будет тем же, как и в примере 5.18. Определим полиномы Δ_i (s). Степень полинома Δ₀ (s) будет m₀ = n -1- l ₀ = 4-1-1 = 2. Здесь l₀=1 потому, что из состояния (1), в котором находится система в начале функционирования, в состояние (0) она переходит в результате однократного изменения состояния. Тогда

Коэффициенты В_{j 0} здесь не должны содержать слагаемых, в которые в виде сомножителя входят интенсивности перехода из состояния (0), т. е. интенсивности а₀₁ и а₀₂, кроме того, они должны иметь только те слагаемые коэффициентов А_i, в которые входит в качестве сомножителя интенсивность перехода из состояния (1) в состояние (0), т. е. интенсивность а ₁₀.

Исключая указанные сомножители из соответствующих коэффициентов А_i, получим:

Тогда

Степени остальных полиномов будут:

Тогда

Коэффициенты В_{j 1} полинома Δ₁ (s) не должны содержать слагаемых, в которые в качестве сомножителя входят интенсивности а ₁₀, а₁₃.

Коэффициенты В_{j 2} полинома Δ₂ (s) не должны содержать слагаемых, в которые в качестве сомножителя входит интенсивность а₂₀. Кроме того, коэффициенты В_{j 2} должны содержать только те слагаемые соответствующих коэффициентов А_i, в которые входит произведение интенсивностей а_10·а₀₂. Коэффициенты В_{j 3}полинома Δ₃ (s) не должны содержать слагаемых, в ко­торые в качестве сомножителей входят интенсивности а ₃₁. Кроме того, коэффициенты В_{j 3}должны содержать только те слагаемые коэффициентов А_i, в которые входит в качестве сомножителя интенсивность а₁₃.

Выполнив очевидные преобразования над коэффициентами полинома знаменателя функции Р_i(s) и элементарные вычисления, получим:

5.4.2. Определение финальных вероятностей состояний системы

Финальные вероятности пребывания системы в i -м состоянии можно вычислить, воспользовавшись соотношением

Подставляя в это выражение вероятность P_i(s) из (5.13), получим:

Таким образом, для вычисления финальных вероятностей достаточно определить свободные коэффициенты полиномов Δ_i (s) и Δ (s) по приведенным выше правилам. Однако коэффициенты В_тi и А_п-1 можно получить значительно проще непосредственно из графа состояний, если предположить, что в графе отсутствуют переходы через состояния.

Вероятность Р_i является величиной безразмерной, поэтому каждое из слагаемых коэффициентов В_тi и А_п-1 имеет одно и то же число сомножителей, равное (n -1). Так как слагаемые не должны содержать сомножителей вида а_ij·а_ji, то для графа типа дерева в каждое из них должна входить только одна из этих интенсивностей перехода.

На основании сформулированных выше правил коэффициент В_тi не имеет интенсивностей переходов из 1-го состояния и содержит только такие члены, в которые входят произведения интенсивностей переходов из начального состояния в i-е по кратчайшему пути.

Все это позволяет сделать следующий вывод: коэффициент В_тi имеет только один член, который представляет собой произведение всех интенсивностей переходов из крайних свободных узлов графа в i -е состояние. Так как

а это означает, что коэффициент A_n-1 имеет столько членов, сколько узлов в графе состояний. Каждое из слагаемых равно соответствующему коэффициенту В_тi и определяется по сформулиро­ванному выше правилу определения коэффициента В_тi для i -го состояния.

Таким образом, финальную вероятность пребывания системы в /-м состоянии по графу типа дерева можно определить по формуле:

где п — число узлов графа, В_тi — произведение интенсивностей переходов из всех крайних свободных узлов в узел, соответствующий i -му состоянию системы, при перемещении по кратчайшему пути в направлении стрелок.

ПРИМЕР 5.20. Необходимо определить финальные вероятности пребывания системы во всех возможных состояниях, схема расчета надежности которой приведена на рис. 5.25. Восстанавливает систему одна бригада обслуживания.

Решение. Из графа на рис. 5.26 видно, что система может находиться в пяти состояниях в соответствии с числом узлов графа, причем узлы 0, 2 и 4 являются крайними.

Перемещаясь из узлов 2 и 4 в узел 0 по направлению стрелок и перемножая все встречающиеся интенсивности переходов, получим:

Перемещаясь в узел 1 из крайних узлов 0,2 и 4, получим:

Аналогично,

Тогда

и на основании (5.17) получим:

Из описания способа вычисления Р_i и приведенного примера видно, что определение финальных вероятностей по графу состояний значительно проще, чем путем решения уравнений функционирования системы.

5.4.3. Определение вероятности попадания системы в i-е состояние в течение времени t

Для определения преобразования Лапласа искомой вероятности по графу состояний достаточно во всех ветвях, выходящих из состояния i, поставить экраны и выполнить те же действия, что и в случае определения вероятности пребывания системы в i -м состоянии в данный момент времени.

Вероятность попадания системы в состояние i в течение времени t в преобразовании Лапласа может быть представлена в следующем виде:

где Δ(s) — главный определитель системы дифференциальных уравнений, записанной в преобразовании Лапласа; Δ_i(s) — частный определитель системы.

Выражения (5.18) и (5.13) принципиально отличаются друг от друга, несмотря на их внешнее сходство. Основные их отличия состоят в следующем:

□ полином знаменателя выражения (5.13) не зависит от начальных условий и состояния i, в то время как коэффициенты полинома знаменателя выражения (5.18) зависят от состояния i, вероятность попадания в которое вычисляется по формуле (5.18);

□ в отличие от (5.13),

Действительно, какова бы ни была структура системы и дисциплина обслуживания при t -→∞ (s→0), система обязательно попадет в состояние i.

ПРИМЕР 5.21. Необходимо определить вероятность попадания во все возможные состояния в течение времени t системы, схема расчета надежности которой и граф состояний приведены на рис. 5.23 и 5.24 соответственно. Условия функционирования системы те же, что и в примере 5.18.

Решение. Из графа видно, что система может находиться в четырех состояниях, поэтому п - 4, и на основании (5.18)

Сначала найдем вероятность попадания системы в состояние (0), для чего запретим переходы из состояния (0) в состояния (1) и (2), т.е. будем считать, что а₀₁ = а₀₂ = 0.

Вычисляя коэффициенты А_ji по описанной ранее методике, получим:

Степень полинома числителя на основании (5.14) будет иметь значение:

Тогда коэффициент В00 можно вычислить из коэффициента А₀₀, В₁₀ — из А₁₀, В₂₀ — из А₂₀, В₃₀ — из А₃₀. На основании сформулированного в разд. 5.4.1 правила коэффициенты В_j0, вычисляемые из соответствующих коэффициентов А_j0, не должны содержать в качестве сомножителей интенсивности переходов из состояния (0). Однако в данном случае коэффициенты А_j0 не содержат этих интенсивностей, т.к. состояние (0) является поглощающим. Тогда В₀₀ = А₀₀, В₁₀ = А₁₀, В₂₀ = А₂₀, В₃₀ = А₃₀ а значит Р₀(s) = 1/s, т.е. Р₀(t) = 1, что и следовало ожидать, т. к. по условию задачи при t = 0 система находится в состоянии (0) с вероятностью, равной единице.

Определим вероятность попадания системы в состояние (1), полагая, что это состояние является поглощающим и а ₁₀ = а ₁₃ = 0. При этом условии коэффициенты А_ji будут иметь значения:

Степень полинома числителя будет:

Тогда Δi/(s)=В₀₁s²+B₁₁s+B₂₁, т.е. коэффициент В₀₁ вычисляется из коэффициента А₁₁, В₁₁ — из А₂₁, В₂₁ — из А₃₁. Коэффициенты В_ji должны содержать только те слагаемые, у которых в качестве сомножителя имеется интенсивность перехода из начального состояния (0) в состояние (1), т. е. а₀₁. Исключая из коэффициентов А_ji члены, не содержащие интенсивность а₀₁, получим:

Подставляя значения коэффициентов в полиномы числителя и знаменателя искомой вероятности, получим:

Вычисления P₁(s) можно было бы упростить, рассматривая граф рис. 5.24 без состояния (3). Действительно, если состояние (1) является поглощающим, то при начальных условиях Р₀(0) = 1, Р₁(0) = Р₂(0) = Р₃(0) = 0 система в состояние (3) перейти не может, а значит, это состояние является лишним.

Выполнив аналогичные вычисления, можно получить следующие выражения для вероятностей попадания системы в состояния (2) и (3):

Из полученных выражений видно, что полиномы знаменателей P_i(s) различны, а для каждого состояния.