Точкові оцінки для математичного сподівання та дисперсії

Нехай z =(ξ ₁, ξ ₂, …, ξ_n) — вибірка з генеральної сукупності з розподілом Причому функція розподілу спостережуваної випадкової величини ξ має відому функціональну форму, але залежить від невідомого параметра q. Цей параметр може бути будь-якою точкою заданої параметричної множини Q.

Завдання оцінювання таке: використовуючи статистичну інформацію, яка міститься у вибірці z зробити статистичні висновки про справжнє значення q₀ невідомого параметра. Далі будь-яку функцію від вибірки будемо називати статистикою. При цьому множиною визначення статистики є вибірковий простір Rⁿ, а множиною значень — Q.

При точковому оцінюванні параметра необхідно знайти таку статистику значення якої при заданій реалізації X =(x ₁, x ₂, …, x_n) вибірки z приймають за наближене значення параметра q₀. У цьому випадку функцію h (z) називають оцінкою параметра q₀. Для того, щоб порівнювати різні оцінки і вибрати кращу, є така класифікація їх.

Означення 1. Оцінка параметра q називається незміщеною, якщо Якщо то величину будемо називати зсувом оцінки

Означення 2. Послідовність оцінок параметра q називається спроможною, якщо

Означення 3. Послідовність оцінок параметра q називається сильно спроможною, якщо з імовірністю одиниця при

Означення 4. Послідовність оцінок параметра q називається асимптотично нормальною, якщо тобто має нормальний розподіл

Символ означає збіжність за ймовірністю: для будь-якого а символ означає слабу збіжність функцій розподілів.

Позначимо клас усіх незміщених оцінок параметра q через M₀. Додатково припустимо, що дисперсії всіх оцінок з класу M₀ скінченні: для будь-якого

Означення 5. Оцінка параметра q називається оптимальною, якщо

Незміщеною, сильно спроможною та асимптотично нормальною оцінкою математичного сподівання є вибіркове середнє

Через будемо позначати реалізацію цієї оцінки. Вибіркове середнє для дискретного статистичного ряду підраховується за формулою Вибіркове середнє для інтервального статистичного ряду підраховується за формулою де – середина інтервалу .

— незміщена оцінка дисперсії

— зміщена оцінка

Якщо математичне сподівання a відоме, то незміщеною, сильно спроможною і асимптотично нормальною оцінкою дисперсії є оцінка

Розв’язок x_р рівняння де називається p -квантиллю розподілу При p =0,5 квантиль називають медіаною розподілу. Вибірковою p -квантиллю називають порядкову статистику

— це елемент вибірки, зліва від якого знаходиться частка спостережень і — порядкова статистика з максимальним номером, що задовольняє цю властивість. Величина називається вибірковою медіаною.

Реалізацію величини позначають Me. Для дискретних статистичних рядів:

Для інтервальних статистичних рядів:

де y_i — початок медіанного інтервалу, тобто такого, якому відповідає перша з нагромаджених частот, що перевищує половину всіх спостережень, h_i — довжина інтервалу, m_i — частота медіанного інтервалу.

Мода — це елемент, який найчастіше трапляється у вибірці. Для дискретного статистичного ряду:

якщо

Для інтервального статистичного ряду:

,

де y_i — початок інтервалу з найбільшою частотою, m_i — частота i -го інтервалу.