Основні дискретні розподіли та їхні числові характеристики

Біноміальний розподіл. Проводяться незалежні випробування; в кожному випробуванні може бути два результати: «успіх» — з ймовірністю p, або «невдача» — з ймовірністю q =1– p. Нехай проведено n випробувань. Позначимо через  число «успіхів», тоді

P_n (k) = P {x= k }= (k =0, 1,..., n).

Розподіл випадкової величини x називається біноміальним розподілом Бернуллі, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробувань, або схеми Бернуллі.

Локальна теорема Муавра—Лапласа. Якщо n ®¥, p — константа, 0< p <1, то

Інтегральна теорема Муавра—Лапласа. Якщо n ®¥, p — константа, 0< p <1, то

рівномірно по x ₁, x ₂ (–¥ x ₁ x ₂¥).

Теорема Пуассона. Якщо p = p_n ® 0 та np_n ® l при n ®¥ (0<l<¥), то

Праві частини формул у теоремах Муавра—Лапласа дають добрі наближення, якщо n достатньо велике, а p та q не дуже близькі до 0. Часто нормальним наближенням користуються при npq >20. Теорема Пуассона дає добре наближення, коли n велике, а p мале. Зазвичай p <0,1, npq <9. Таблиці функції Лапласа інтегральної функції Лапласа та функції наведено у додатку (табл. 1, табл. 2, табл. 3).

Геометричний розподіл. Випадкова величина x, яка набуває значень 0, 1,..., k... має геометричний розподіл з параметром p, якщо

P (x = k)=(1– p) ^kp.

Величину x можна інтерпретувати як число випробувань до першого успіху в схемі незалежних випробувань з імовірністю успіху p.

Розподіл Пуассона. Випадкова величина x, яка набуває значень 0, 1,..., k,... має розподіл Пуассона з параметром l >0, якщо

P (x= k) =