Односторонние пределы.
Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0 слева (справа), если такое, что |f(x)-A|<ε при x0 – х < δ (х - х0 < δ).
Обозначения: 
Второе определение предела. Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х0, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.
Непрерывность функции.
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки х0.
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
1. Она определена в точке х0
2. Существует конечный предел

3. Этот предел равен значению функции в точке х0.
Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

Разрывность функции
Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х0, а сама точка x0-точкой разрыва. Если в точке x0 оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х0-точка разрыва первого рода, т.е.
Возможны два случая
1. f(x0+0)=f(x0-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х0, либо f(x0) # L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х0 или переопределить ее, положив f(x0)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х0.
оба односторонних предела существуют, конечны и равны.
2. f(x0- 0) № f(x0+0) B этом случае разрыв называется неустранимым.
Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x0+0) или f(x0-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.
Если в точке х0 функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

Date: 2016-08-30; view: 375; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|