Уравнение прямой линии

При вычислении параметров уравнения

y = a + bx (7.2)

в соответствии с (7.1) составляется выражение

. (7.3)

Рассматривая a и b в качестве независимых переменных и приравнивая к нулю частные производные от левой части по этим переменным, получим два уравнения с двумя неизвестными:

(7.4)

после приведения системы к нормальной форме имеем:

(7.5)

Решение системы (7.5) относительно неизвестных a и b дает численные значения искомых коэффициентов:

(7.6)

и

. (7.7)

Проверка значимости уравнения регрессии производится по F-критерию Фишера. При этом общая дисперсия s_y² сравнивается с остаточной s_ост²:

F _ф = s _y² / s _ост² (7.8)

Для принятого уровня значимости F _ф сравнивается с табличным значением F _st и делается вывод об адекватности описания уравнением рассматриваемой взаимосвязи.

Пример 7.1. Получить уравнение регрессии, описывающее фактические значения высот по диаметрам в сосновом древостое, используя линейную модель. Исходные данные и последовательность расчета с использованием MS Excel приведены на рис. 7.1. Полученное уравнение регрессии имеет вид y = 8,641 + 0,445x. При уровне значимости a=0,05 F _ф > F _st. Следовательно, линейное уравнение регрессии адекватно описывает фактическое изменение высот от диаметров деревьев (рис.7.2). При этом значение F_ф=22,31 указывает на то, что уравнение прямой линии в 22 раза лучше описывает рассматриваемую взаимосвязь чем среднее значение зависимой переменной.

Рис. 7.1.

Уравнение гиперболы

Для вычисления коэффициентов a и b гиперболической зависимости:

y = a + b/x (7.9)

необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

Рис. 7.2.

(7.10)

Результатом решения системы нормальных уравнений являются следующие выражения:

(7.11)

и

. (7.12)

Проверка значимости уравнения регрессии производится по F -критерию Фишера, формула (7.8).

Пример 7.2. Найти уравнение регрессии, описывающее фактические значения высот по диаметрам в сосновом древостое, используя гиперболическую модель. Исходные данные и последовательность расчета с использованием MS Excel приведены на рис. 7.3. Полученное уравнение регрессии имеет вид y = 30,965 - 197/x. При уровне значимости a=0,05 F _ф > F _st. Следовательно, гиперболическое уравнение регрессии адекватно описывает фактическое изменение высот от диаметров деревьев (рис.7.4).

Рис. 7.3.

Рис. 7.4.

Линейное уравнение с логарифмированием факторного признака

Для вычисления коэффициентов a и b для уравнения прямой с логарифмированием факторного признака

y = a + b ln x (7.13)

необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

(7.14)

Решение системы (7.14) относительно неизвестных a и b дает численные значения искомых коэффициентов:

(7.15)

и

. (7.16)

Проверка значимости уравнения регрессии производится по F-критерию Фишера (7.8).

Пример 7.3. Найти уравнение регрессии, описывающее фактические значения высот по диаметрам в сосновом древостое, используя линейную модель с логарифмированием факториального признака. Исходные данные и последовательность расчета с использованием MS Excel приведены на рис. 7.5. Полученное уравнение регрессии имеет вид y=-14,57+11,202 ln x. При уровне значимости a=0,05 F _ф> F _st. Следовательно, линейное уравнение регрессии адекватно описывает фактические изменение высот от диаметров деревьев (рис.7.6).

Рис. 7.5.

Рис. 7.6.