Семейство кривых Пирсона

К. Пирсон в цикле работ начала нынешнего века предложил семейство кривых распределения столь же обширное, как и семейство кривых Джонсона. Это семейство кривых, полностью определяемое первыми четырьмя моментами, насчитывает 12 типов кривых, из которых обычно используют 7. Конкретный тип кривой устанавливают в зависимости от величины χ-критерия, который называют критерием Пирсона и определяют через величины μ₃ и μ₄:

χ = (μ₃(s+2))/(16(s+1)), (3.34)

где

μ₃ и μ₄ - третий и четвертый основные моменты,

s=6(μ₄ - μ₃² - l)/(3μ₃²- 2μ₄ + 6).

Рис. 3.13.

С точки зрения практической аппроксимации наибольший интерес представляют следующие четыре типа асимметричных кривых (все они, за исключением кривых IV типа, могут быть U- и J-образные):

· I - случайная величина имеет размах, ограниченный с двух сторон, критерий χ<0, это - бета-распределение, рассмотренное выше;

· III—размах ограничен слева; критерий х = ±¥, практическое применение возможно при | χ |>4, это—гамма-распределение;

· IV—размах неограничен с обеих сторон, критерий χ заключен между 0 и 1;

· VI—размах ограничен с одной стороны (как правило, справа). Последний тип заменой у = а/х можно привести к первому типу, а непосредственное применение IV типа сопровождается определенными вычислительными трудностями.

В качестве основных обычно используют кривые I, IV и VI типов со значением критериев соответственно 0<χ<1 и χ>1, обеспечивающих по разнообразию форм кривых распределений потребности лесоводственной практики. Остальные типы - переходные на границах между I, IV и VI. Если χ=0 и m₄=0, то получают кривую нормального распределения, если χ=0, m₄<3 - типа II, если m₄>3 - VII, если χ = 1 - V.

Аппроксимацию кривыми Пирсона проводят в определенной последовательности:

1) по результатам наблюдений вычисляют первые четыре момента эмпирического распределения, на основе которых определяют критерий Пирсона и выбирают тип кривой распределения;

2) через эмпирические моменты выражают параметры кривой выбранного типа;

3) полученные параметры подставляют в уравнение соответствующего типа и вычисляют теоретические частоты.

Систематическое изложение техники аппроксимации по каждому типу семейства Пирсона достаточно громоздко, к тому же эти задачи, как и применение семейства кривых Джонсона, по своей трудоемкости требуют применения ЭВМ. В математическом обеспечении ЭВМ есть хорошие программы для автоматического поиска типа кривых и вычисления выравнивающих частот как одного, так и другого семейства.

Кривые семейства Пирсона неоднократно применяли в качестве универсальной модели распределения при решении многочисленных задач обработки лесоводственной информации. В качестве примера приведем схему вычислений выравнивающих частот ряда распределения диаметров стволов деревьев по уравнению Пирсона I типа, математическая модель которого имеет следующий вид:

где

Здесь

s - среднеквадратическое отклонение;

A – коэффициент асимметрии;

E - коэффициент эксцесса

N - объем ряда распределения

n – выравнивающие частоты ряда.

Пример 3.10. Для ряда распределения (рис. 3.14)получены следующие статистики ряда распределения по толщине: n =313; M =26,492; s=7,712; A =0,164; E =-0,251. Через полученные эмпирические моменты получаем по (3.35) параметры кривой f =-0,04; L =16,9719; L ₁=6,7253; L ₂=10,2466; q ₁=9,4881; q ₂= 6,2275; N _o=62,5. Далее полученные параметры подставляем в уравнение и вычисляем теоретические частоты.

Уравнения Пирсона I типа используются для “выравнивания” рядов, имеющих как резковыраженную положительную, так и близкую к нормальной ассиметрию. Наиболее часто эту модель применяют для рядов распределений деревьев по ступеням толщины при исследовании возрастной динамики древостоев.

Уравнения Пирсона I типа хорошо аппроксимируют резко асимметричные ряды распределения, как с положительной, так и с отрицательной асимметрией. Математическая модель этого уравнения имеет следующий вид:

где

Пример 3.11. Для ряда распределения (рис. 3.15)получены следующие статистики ряда распределения деревьев по объему: n =313; M =0,625; s=0,381; A =0,836; E =0,402. Через полученные эмпирические моменты получаем по (3.36) параметры кривой p =0,466; L =0,179; F (z)=4,810424; N _o=65,067. Далее полученные параметры подставляем в уравнение и вычисляем теоретические частоты с использованием MS Excel.

Рис. 3.14

Рис. 3.15

Контрольные вопросы и задания

1. Изложите методические приемы аппроксимации рядов распределения случайной величины.

2. В чем заключается сущность закона нормального распределения случайной величины?

3. Изложите особенности логнормального распределения случайной величины.

4. Опишите статистические модели гамма- и бета- распределения случайной величины.

5. Изложите методику выравнивания частот по функции распределения Пуассона.

6. Изложите методику расчета теоретических частот по типам кривых распределения Джонсона и Пирсона.

Глава 4.