Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Показательная функция. Степень с иррациональным показателем.





 

Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу число . Тем самым получим числовую функцию f(x) = ax, определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую ранее перечисленными свойствами. При а=1 функция f(x) = axпостоянна, так как 1x=1 для любого рационального х.


 

Нанесем несколько точек графика функции у =2x предварительно вычислив с помощью калькулятора значения 2x на отрезке [—2; 3] с шагом 1/4 (рис. 1, а), а затем с шагом 1/8 (рис. 1, б).Продолжая мысленно такие же построения с шагом 1/16, 1/32 и т. д., мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой и принимающей значения в рациональных точках (рис. 1, в). Построив достаточно большое число точек графика функции , можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция убывает на R).

Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2α и для каждого иррационального α, что функции , задаваемые формулами y=2x и будут непрерывными, причем функция у=2x возрастает, а функция убывает на всей числовой прямой.

Опишем в общих чертах, как определяется число aα для иррациональных α при а>1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = ax была возрастающей. Тогда при любых рациональных r1 и r2, таких, что r1<α<r2, значение aα должно удовлетворять неравенствам ar1αr1.

Выбирая значения r1 и r2, приближающиеся к х, можно заметить, что и соответствующие значения ar1 и ar2 будут мало отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех ar1 для всех рациональных r1и меньше всех ar2 для всех рациональных r2. Это число у по определению есть аα.

Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2x в точках хn и х`n, где хn и х`n — десятичные приближения числа мы обнаружим, что, чем ближе хn и х`n к , тем меньше отличаются 2xn и 2x`n.



Так как , то


 

и, значит,


 

Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближения по недостатку и избытку, приходим к соотношениям


;

 


;

 


;

 


;

 


.

 

Значение вычисленное на калькуляторе, таково:


.

 

Аналогично определяется число aα для 0<α<1. Кроме того полагают 1α=1 для любого α и 0α=0 для α>0.






Date: 2016-07-25; view: 115; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию