Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Логарифмическая функция.
Пусть а — положительное число, не равное 1. Определение. Функцию, заданную формулой y =logax, (1) называют логарифмической функцией с основанием а. Перечислим основные свойства логарифмической функции. 1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R+, т. е. D(loga)=R+. Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а. 2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство loga(ay) = y (2)
т. е. функция y= logax принимает значение у0 в точке x0=a у0 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1). Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное рассуждение). Пусть x1 и x2 — произвольные положительные числа и x2>x1. Надо доказать, что loga x2>loga x1. Допустим противное, т. е. что loga x2≤loga x1 (3)
Так как показательная функция у=ах при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует: aloga x2≤aloga x1. (4)
Но aloga x2=x2, aloga x1=x1 (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x2≤ x1. Это противоречит допущению x2 > x1. Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; loga 1 =0 при любом а>0, так как а0 = 1. Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0<a<1—отрицательные. Если 0<а<1, то y=logax убывает на R+, поэтому loga x>0 при 0<x<1 и logax<0 при х>1.
Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = loga х при а>1 (рис. 1, а) и0<а<1 (рис. 1,6).
Справедливо следующее утверждение: Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 2).
Вопрос 37.
|