Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Логарифмическая функция.





 

Пусть а — положительное число, не равное 1.

Определение. Функцию, заданную формулой

y =logax,

(1)

называют логарифмической функцией с основанием а.

Перечислим основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R+, т. е. D(loga)=R+. Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а.

2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство


loga(ay) = y (2)

 

т. е. функция y= logax принимает значение у0 в точке x0=a у0

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное рассуждение).

Пусть x1 и x2 — произвольные положительные числа и x2>x1. Надо доказать, что loga x2>loga x1. Допустим противное, т. е. что


loga x2≤loga x1 (3)

 

Так как показательная функция у=ах при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует:


aloga x2≤aloga x1. (4)

 

Но aloga x2=x2, aloga x1=x1 (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x2≤ x1. Это противоречит допущению x2 > x1.

Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; loga 1 =0 при любом а>0, так как а0 = 1.

Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0<a<1—отрицательные.

Если 0<а<1, то y=logax убывает на R+, поэтому loga x>0 при 0<x<1 и logax<0 при х>1.


 

Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = loga х при а>1 (рис. 1, а) и0<а<1 (рис. 1,6).


 

Справедливо следующее утверждение:

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 2).

 

Вопрос 37.

Date: 2016-07-25; view: 794; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию