Свойства степеней с рациональным показателем.

Покажем теперь, что при сформулированном выше определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что приводимые далее свойства верны только для положительных оснований).

Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных а и b справедливы равенства:

1. a^r*a^s=a^r+s.
2. a^r:a^s=a^r-s.
3. (a^r)^s=a^rs.
4. (ab) ^r=a^r*a^s.
5.

Для доказательства этих свойств надо воспользоваться определением степени с рациональным показателем и доказанными свойствами корней. Докажем, например, свойства 1, 3. Пусть mn и , где n и q — натуральные числа, а m и р — целые. Тогда

;

;

.

Отметим следующие два свойства степеней с рациональными показателями:

6. Пусть r — рациональное число и 0<а<b. Тогда

a^r<b^r при r>0,
a^r>b^r при r<0.

7. Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r>s следует, что

a^r > a^s при а>1;
а^r<a^s при 0<а<1.

Докажем свойство 6.

Если r>0, то r можно записать в виде , где m и n — натуральные числа. Из неравенства 0<a<b и свойств степени с целым показателем следует, что a^m<b^m. По свойству корней (свойство 6) из этого неравенства получаем , т.е. a^r < b^r.

В случае r <0 проводится аналогичное рассуждение.

Для доказательства свойства 7 приведем сначала рациональные числа r и s к общему знаменателю: и , где n - натуральное число, а m и p — целые. Из неравенства r>s следует, что m>p. Если а>1, то > 1 и по свойству степени с целым показателем .

Остается заметить, что и .

Случай 0<а<1 разбирается аналогично.

Вопрос 33.