Определение. Арифметическим корнем n-й степени из числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Арифметический корень обозначают ⁿ√a. Число n называют показателем корня, а само число a - подкоренным выражением. Знак корня √ называют радикалом.

При четных n функция f(x)=xⁿ четна, следовательно, если a>0, то уравнение xⁿ=a кроме корня x₁=ⁿ√a, имеет так же корень x₂=-ⁿ√a. Если a=0, то корень всего один: x=0. Если a<0, то это уравнение корней не имеет, так как четная степень любого числа неотрицательна.

Таким образом, при четном n существуют два корня n-й степени из любого положительного числа a. Корень n-й степени из числа 0 равен нулю, а корней четной степени из отрицательных чисел не существует.

При нечетных значениях n функция f(x)=xⁿ возрастает на всей числовой прямой, ее область значений - множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение xⁿ=a имеет один корень для любого значения a, и, в частности, при a<0. Этот корень для любого значения а, в том числе и нечетного, обозначают ⁿ√a.

Резюмируя вышесказанное, можно сделать вывод: принечетном n существует корень n-й степени из любого числа a и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство:

ⁿ√-a = -ⁿ√a

Доказывается это равенство просто.
(-ⁿ√a)ⁿ=(-1)ⁿ(ⁿ√a)ⁿ=-1*a=-a, то есть число -ⁿ√a есть корень n-й степени из -а, но такой корень при нечетном n единственный, следовательно ⁿ√-a=-ⁿ√a.

Вышеприведенное равенство поволяет выражать и вычислять корни с нечетной степенью из отрицательных чисел.

Замечание 1.

Для любого действительного x: ⁿ√aⁿ = |x|, если n четно; ⁿ√aⁿ = x, если n нечетно.

Замечание 2.

Считают, что корень первой степени из числа равен этому же числу. Квадратным корнем называют корень второй степени (при этом показатель степени опускают и пишут просто знак радикала). Корень третьей степени называют кубическим корнем.