Функция ех дифференцируема в каждой точке области определения, и

(е^х)' = е^х.

Доказательство.

Найдем сначала приращение функции у = е^х в точке x₀:

Δy = e ^x₀^+Δx — е ^x₀ = е ^x₀ • е ^Δx — е ^x₀ = е ^x₀ (е^{Δ x} — 1).

Пользуясь условием (1), находим:

при Δx → 0

По определению производной отсюда следует, что у' = e^x т. е. (е^x)’= е^х при любом х.

Число е положительно и отлично от 1, поэтому определены логарифмы по основанию е.

Определение.

Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию е:

ln x = log_e х.

(2)

По основному логарифмическому тождеству для любого положительного числа е^{ln a} =а. Поэтому а^х может быть записано в виде

a^x = (e^{ln a})^x = e^{x ln a}. (3)

Выведем формулу производной показательной функции при произвольном значении а.

Теорема 2.

Показательная функция ах дифференцируема в каждой точке области определения, и

(а^x)'=а^хlп а.

(4)

Доказательство.

Из формулы (3) по теореме о производной сложной функции получаем, что показательная функция дифференцируема в каждой точке и

(a^x)’= (e^{x ln a})’= e^{x ln a}ln a = a^x ln a (5)

Следствие.

Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. аx →аx0 при х →х0.

Число е. Экспонента

В предыдущих пунктах графики показательной функции изображались в виде гладких линий (без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равносильно ее дифференцируемости в x₀. Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках области определения.

Нарисуем несколько графиков функции у = а^x для а, равного 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 1), и проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35, 40, 48 и 51° соответственно, т. е. с возрастанием а угловой коэффициент касательной к графику функции у=а^x в точке М (0; 1) постепенно увеличивается от tg 35° до tg 51°. Представляется очевидным, что, увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угловой коэффициент соответствующей касательной равен 1 (т. е. угол наклона равен 45°). Вот точная формулировка этого предложения (мы принимаем его без доказательства):

Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у = е^x в точке 0 имеет производную, равную 1, т. е.

при Δx →0. (1)

Замечание. Доказано, что число е иррационально и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. С помощью электронных вычислительных машин найдено более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые знаки таковы: е = 2,718281828459045....

Функцию е^x часто называют экспонентой.

Вопрос 39.