Основные свойства логарифмов.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом а>0 (а≠ 1) и любых положительных х и у выполнены равенства:

1. log_a1=0.

2. log_aa=1.

3. log_axy =log_ax + log_ay.

4. log_a =log_ax—log_ay.

5. log_a x^p=p log_a xдля любого действительного р.

Для доказательства правила 3 воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

x=a^log_a^x, y=a^log_a^y. (1)

Перемножая почленно эти равенства, получаем:

xy=a^log_a^x * a^log_a^y= a^log_a^{x + log}_a^y ,

т. е. xy= a^log_a^{x+ log}_a^y . Следовательно, по определению логарифма log_a(xy)=log_ax+ log_ay.

Коротко говорят, что логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Правило 4 докажем вновь с помощью равенств (1):

следовательно, по определению .

Говорят, что логарифм частного равен разности логарифмов.

Для доказательства правила 5 воспользуемся тождеством x=a^log_a^x, откуда х^р = (a^log_a^x)^p= a^{p log}_a^x. Следовательно, по определению log_ax^P = p log_a x.

Говорят, что логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

.

(Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. е. при x>0, а>0 и а≠1, b>0 и b≠1.)

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

log_b x = log_b(a^log_a^x)

откуда

log_b x = log_a x* log_b a

Разделив обе части полученного равенства на log_b a, приходим к нужной формуле.

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg).

Вопрос 36.