Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Рассмотрим практические упражнения.1. Дискретная случайная величина Х дана таблицей распределения вероятностей
Вычислить числовые характеристики М (Х), D (X), , V(X). Находим математическое ожидание . Дисперсию вычислим по формуле . Составим закон распределения для случайной величины
Вычислим . Итак, D(X) = 10,2 - . Находим среднее квадратическое отклонение . Определим коэффициент вариации %. 2. Две независимые дискретные случайные величины даны таблицами распределения вероятностей
Определить: М (2X + 3Y), D (X + 2), D (3X + 2Y), M (2XY). Составить таблицу распределения вероятностей для случайной величины X + Y. При вычислении числовых характеристик воспользуемся их свойствами. Для этого предварительно вычислим M(X), D(X), M(Y), D(Y). Имеем ; ; На основании свойств линейности математического ожидания имеем М (2X + 3Y) = 2M (X) +3M(Y) = ; Далее на основании свойства 4 дисперсии имеем D (X + 2) = D(X) = 0,24; C учетом свойств дисперсии 4 и 5 получим D (3X + 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 12,6. На основании свойства 4 математического ожидания имеем Теперь составим закон распределения случайной величины X+Y. Возможные значения случайной величины X+Y равны всевозможным суммам случайной величины Х со случайной величиной Y, то есть:
, .
Находим вероятности возможных значений. В частности, . Так как случайные величины X, Y независимые, поэтому события в свою очередь являются независимыми. По теореме умножения вероятностей независимых событий имеем . Итак, Аналогично, ; ; ; ; ;
Теперь составим таблицу распределения вероятностей для случайной величины X+Y
Замечание. В качестве самоконтроля следует проверить сумму элементов второй строки, то есть, равна ли единице. В самом деле, имеем 0,36 + 0,24 + 0,18 + 0,12 + 0,06 + 0,04 = 1. 3. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X
.
Найти: Функцию распределения F(x); математическое ожидание; дисперсию; среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации; P(1 < X < 6); Построить графики функций f (x), F (x). Пользуясь формулой , найдем интегральную функцию распределения F(x). Будем искать по промежуткам для любого имеем Если , то При >2, имеем
Итак, функция распределения .
Находим математическое ожидание
.
Определим дисперсию по формуле . Итак,
Находим .
Определим коэффициент вариации
%.
Вычислим P (1 < X < 6) при помощи интегральной функции . Если же дана плотность распределения, то можно найти следующим образом .
Формула Лапласа Вернемся к нормальному распределению. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Плотность распределения имеет вид . При этом М(Х) = а, , . Итак, второй параметр выражает среднеквадратическое отклонение нормального распределения. Определим вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал по формуле Лапласа
, где , где Ф (t) – функция Лапласа.
Пример 1. На прядильной фабрике вырабатывается пряжа, средняя прочность образцов которой равна 260 сн; . Прочность как случайная величина приближенно следует нормальному закону распределения. Определить долю образцов пряжи с прочностью от 224 сн до 287 сн. Поскольку прочность образцов пряжи Х согласно условию имеет приближенно нормальное распределение, поэтому можно использовать формулу Лапласа. В нашем случае параметры распределения такие: а=260 сн, и .
Причем . Находим сначала . Итак, по формуле Лапласа имеем Значения функции Лапласа Ф (1,5) и Ф (2) нашли по таблице значений функции Лапласа. Пример 2. Средняя прочность образцов пряжи равна 280 сн. . Определить долю образцов всей пряжи, прочность которой отклоняется от средней на величину не больше 20 сн. Считается, что прочность приближенно изменяется по нормальному закону. Здесь используем частный случай формулы Лапласа . В рассматриваемом примере а =280, . Итак, имеем .
|